110:2=55 вот тебе и угол, ABE, так как биссектриса это линия которая делит угол пополам
Теорема - свойство биссектрисы треугольника.
Если <em>AA</em><em>1</em> - биссектриса внутреннего угла <em>A</em> треугольника <em>ABC</em>, то
ВА*/А*С= ВА/ АС .
Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.
<em>Доказательство.</em>Проведем через <em>B</em> прямую, параллельную <em>AC</em>, и обозначим через <em>D</em> точку пересечения этой прямой с продолжением <em>AA<em>1</em></em> .
Согласно свойству параллельных прямых имеем <span>Ð</span><em>BDA</em> = <span>Ð</span><em>CAD</em>. Так как <em>AA</em><em>1</em> - биссектриса, то <span>Ð</span><em>CAD</em> = <span>Ð</span><em>DAB</em>. Итак, <span>Ð</span><em>BDA</em> =<span>Ð</span><em>DAB</em>, потому <em>BD</em> = <em>BA</em>.
Из подобия треугольников <em>CAA</em><em>1</em> и <em>BDA</em><em>1</em> (по второму признаку <span>Ð</span><em>BDA</em><em>1</em> = <span>Ð</span><em>CAA</em><em>1</em> , <span>Ð</span><em>BA</em><em>1</em> <em>D</em> = <span>Ð</span><em>CA</em><em>1</em><em>A</em>) получаем ВА*/А*С =ВD/АС =ВА/АС , что и требовалось доказать.
Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через <em>B</em> прямую, параллельную биссектрисе <em>AA</em><em>1</em>,до пересечения в точке <em>E</em> с продолжением <em>CA</em> . Тогда <em>EA</em> = <em>AB</em> и СА /АЕ =СА/АВ .
Т. к. О и Е соединяют сер. сторон АВ и ВС, то ОЕ-средняя линия и она равна 1/2АС=6 и параллельна АС. Значит АОЕС-трапеция. АО=ЕС т.к. треугольник равно бедренный и они равны 10/2=5.
И находим периметр:
Р=АО+ОЕ+ЕС+АС=5+6+5+12=28.
--- 1 ---
на рисунке 1 маленький жёлтый треугольник подобен большому синему
т.к. один угол общий, второй прямой
r/1.5 = (2r + R)/(12 + 3)
r/1.5 = (2r + R)/15
10r = 2r + R
R = 8r
--- 2 ---
Теорема Пифагора для большого синего треугольника
15² + R² = (2r + R)²
15² + (8r)² = (2r + 8r)²
15² + 64r² = 100r²
15² = 36r²
5² = 4r²
r² = (5/2)²
r = 5/2
R = 8r = 20
--- 3 ---
рисунок 2
Синий и красный треугольники подобны - оба они равнобедренные, и углы при основаниях равны как вертикальные
--- 4 ---
угол при вершине β можно найти из большого прямоугольного треугольника со сторонами 15, 20 и 2r + R = 2*2.5 + 20 = 25
sin(β) = 15/25 = 3/5
--- 5 ---
Высота красного треугольника, проведённая к боковой стороне
h = 2.5*sin(β) = 2.5*3/5 = 7.5/5 = 1.5
--- 6 ---
Основание искомого треугольника 2R = 40
Высота равна высоте маленького красного на рис 2
h = 1.5
Площадь
S = 1/2*40*1.5 = 20*1.5 = 30
------
Примечание
На картинке кажется, что изображены касательные к двум окружностям, и к маленькой и к большой. Но для циферок в 3 и 12 такое невозможно. В итоге касательная только одна, к большой окружности.