1).a)cosx=0,x=π/2+πn, n∈Z,
б).sinx=√3/2, x=(-1)ⁿπ/3+πn,n∈Z
в).cosx=-√2/2, x= +-(π-arccos√2/2)+2πn=+- (π-π/4)+2πn,
x=+-3π/4+2n,n∈Z
2.a)sin²x+5sinx+4=0.Пусть
sinx =у,тогда
sin²x =у² и
у² +5у+4=0, D=5²-4·4=25-16=9,√D=3,y₁=(-5-3)/2=-4,
y₂=(-5+3)/2=-1.Тогда уравнение
sinx =-4 не имеет корней
sinx =-1, у=-π/2+2πn
n∈ Z
б).2sin²x-
cosх-1=0,т.к.
sin²x=1-
cos²х,то получаем:
2(1- cos²х)-
cosх-1=0 ,
2- 2 cos²х- cosх-1=0 или
-2 cos²х- cosх+1=0,
2 cos²х+ cosх-1=0.Пусть
cosх =у,тогда
2у²+у-1=0.D=1+4·2=1+8=9,√D=3,y₁=(-1+3)/4=0.5. y₂=(-1-3)/4=-1.
cosх=-1 cosх=0.5
x=-π/2+2πn, n∈Z x=+-(π/3)+
2πn ,
n∈Z
3.sin²(π-x)+cos(π/2+x)=0
sin²x-sinx=0,sinx(sinx-1)=0,
sinx=0 sinx=1
x=πn,n∈Z x=π/2+2πn<n∈Z.
4) a).sinx-√3cosx=0, разделим на
cosx и имеем:
tgx=√3 , x=π/3+πn,n∈Z
б).sin²x+2sinxcosx-3cos²x=0, /
sinxcosx и получаем
sinx/cosx+2-3cosx/sinx=0 или tgx+2-3ctgx=0.Пусть
tgx=у,тогда
ctgx=1/у или у+2-3/у=0 у²+2у-3=0,
D=4+4·3=16,√D=4, y₁=(-2+4)/2=1,y₂=(-2-4)/2=-3,
tgx=1 tgx=-3
x=π/4+πn,n∈Z x=arctg(-3)+n=-arctg3+πn,nZ
5.sinx-√3cosx=√2 /2
(1/2)sinx-(√3/2)cosx=√2/2
Пусть 1/2=cos(π/3) ,√3/2=sin(π/3),Имеем:
cos(π/3)sinx- cosx·sin(π/3)=√2/2
т.к.
cos(π/3)sinx- cosx·sin(π/3)=
cos(х+π/3),то получаем:
cos(х+π/3)=√2/2,
х+π/3=+-(π/4)+2πn,x=+-(/4)-ππ/3+
2πn, n∈Z
Ответ:
x=+-(/4)-ππ/3+ 2πn, n∈Z
5x^4+1+9x^4+6x^2-1=13x^4+6x^2
Квадраты чисел не могут принимать отрицательных значений x^2=>0
Решение сразу:
5х-3/3=3-10х/11
(5х-3)*11=(3-10х)*3
5х*11-3*11=(3-10)*3
55х-3*11=(3-10х)*3
55х-33=(3-10х)*3
55-33=9-30х
55х+30х=9+33
85х=42
х=42/85
1) f'(x0)=tg(135°)=-1
3)Здесь надо рассматривать два случая:
1. y=x*(x+1)
y=x²+x
y'=2x+1
y'(-1)=2*(-1)+1=-1
2.y=x*(-x-1)
y=-x²-x
y'=-2x-1
y'(-1)=1
Пусть n и n+1 - последовательные натуральные числа,
тогда n²+(n+1)² - сумма квадратов этих чисел, а n(n+1) - их произведение.
По условию задачи можно составить уравнение:
n²+(n+1)²-n(n+1)=157
n²+n²+2n+1-157=0
n²+n-156=0
D=1-4*1*(-156)=1+624=625=25²²
n(1)=(-1+25)/2=12 - натуральное число
n(2)=(-1-25)/2=-13 - не является натуральным числом
Итак, n=12. Следовательно, n+1=12+1=13.
Ответ: 12 и 13