Трапеция АВСД, МН-средняя линия=26, АВ=10, СД=24, точка Р серединаАС, точкаТ - середина ВД, РТ=13, треугольник АВД, МТ=МР+РТ=МР+13 -средняя линия треугольника=1/2АД, треугольник АСД, РН=ТН+РТ=ТН+13 - средняя линия треугольника=1/2АД, МР+13 =ТН+13, ТН=МР = (МН-РТ)/2=(26-13)/2=6,5, МТ=МР+РТ=6,5+13=19,5, АД=МТ*2=19,5*2=39, МН=(АД+ВС)/2, 2МН=АД+ВС,
ΔАDC по т. Пифагора: АС² = 4 + 2 = 6, ⇒АС = √6
ΔМАС; ∠АСМ = 30°, АМ = х, МС = 2х. По т Пифагора: 3х² = 6,⇒ х² = 2,⇒
⇒х = АМ = √2
ΔМDА По т. Пифагора DМ² = 2 + 2 = 4, ⇒ MD = 2
МА/МD = SinMDA = √2/2, ⇒∠MDA = 45°
1.1)Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º
2)Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
<span>3)Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
</span>2.свойство: у смежных углов сумма равна 180градусов
определение: 2 угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол, называются смежными углами.
определение: 2 угла, называются вертикальными, если стороны одного угла образуют со сторонами другого угла развернутые углы.
<span>свойство: вертикальные углы равны
3.</span>В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).
Доказать: CD — биссектриса и высота.
Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).
Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:
Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:
1). Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
<span>2). Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4.</span>Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.При пересечении 2 параллельных прямых третьей обязательно пересекает обе прямые.При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:<span>Накрест лежащие углы равны.</span><span>Соответственные углы равны.</span><span>Односторонние углы в сумме составляют 180°.
5.</span>Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
<em>Параллельные прямые не пересекаются.
6.</em>Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольникаМедиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.7.Теорема:Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.1Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB < AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD. В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD > AB, или BC + CD > AB. Но CD = AC, значит, AC + BC > AB.выводAB < AC + BC;AC < AB + BC;BC < AB + AC.8.<span>Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольниканазывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.</span>Свойства биссектрис треугольникаБиссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .Точка пересечения биссектрис треугольника является<em><u> </u></em><em><u>центром окружности, вписанной в этот треугольник.
9.</u></em><em>-</em><em>10.</em><span>Биссектриса равнобедренного треугольника проведённая к основанию является и высотой и медианой</span>
ВЕ║CF как два перпендикуляра к одной прямой.
∠ACF = ∠ABE = 32° как соответственные при пересечении параллельных прямых ВЕ и CF секущей АС.
∠DCF = 180° - ∠ACF = 180° - 32° = 148° по свойству смежных углов
∠KCF = ∠DCF/2 = 148°/2 = 74° так как СК биссектриса.
∠АСК = ∠ACF + ∠KCF = 32° + 74° = 106°