<span> Дан треугольник с отношением сторон 3:4:5. Это отношение сторон "египетского" треугольника. ∆ АВС- прямоугольный, АВ и АС - его катеты, ВС - гипотенуза, Н - середина ВС. </span>
<span><span> Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы</span>. ВН=СН=5:2=2,5.</span>
<span>Обозначим центр сферы О. </span>
<span>Н - середина гипотенузы, АН - медиана ∆ АВС, и по свойству медианы прямоугольного треугольника АН=ВН=СН, т.е. все эти точки лежат на описанной окружности. </span>
Сфера касается ВС в её середине,<span> радиус ОН сферы касается и, значит, перпендикулярен плоскости ∆ АВС в точке Н, следовательно, перпендикулярен любой прямой, проходящей через Н. </span>Искомые расстояния - наклонные с равными проекциями АН=ВН=СН. <em>Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные.</em> ⇒ ОА=ОВ=ОС.
По т.Пифагора ОА=√(ОН²+АН²)=√(36+6,25)=6,5 (ед.длины)