Теорема косинусов, дважды
x² = 8²+y²-2*8*y*cos(45°)
8² = x²+y²-2*x*y*cos(30°)
сложим
0 = 2y² -8√2*y -√3*x*y
0 = 2y - 8√2 - √3x
y = 4√2 + √3/2*x
подставим в первое, оно кажется получше
x² = 64+y²-8√2*y
x² = 64+(4√2 + √3/2*x)²-8√2*(4√2 + √3/2*x)
x² = 64+3x²/4 + 4√6*x + 32 - 4√6*x - 64
x² = 3x²/4 + 32
x² = 128
x = +8√2 (берём только положительный корень)
y = 4√2 + √3/2*x = 4√2 + √3/2*8√2 = 4√2 + 4√6
Треугольник, симметричный данному АВС относительно точки М - середины стороны АВ, строится так:
Через точку М проводим прямые АМ, ВМ и СМ и на этих прямых откладываем отрезки МА'=АМ, MB'=ВМ и MC'=СM. Соединив полученные точки A', B' и C' получаем искомый треугольник A'B'C', симметричный данному относительно точки М.
R - радиус описанной,
r - радиус вписанной
Сторона многоугольника
а=2*sqrt(R^2-r^2)=2*R*sin(A/2)=2*r*tg(A/2)
A - центральный угол, угол из центра многоугольника, "смотрящий" на сторону.
S=pi*R^2
s=pi*r^2
Площадь кольца:
<span>S-s=pi*a^2/4 *(1/sin^2(A/2)-1/tg^2(A/2))=pi*a^2/4</span>
1) угол А = 180 - (30+105) = 45 град.
2)Воспользуемся теоремой синусов
ВС/sinA = AC/sinB
3корня из 2/sin45град./=AС/sin 30град.
AC = 3 корня из 2 * sin 30 / sin45 = 3корня из 2 * 0,5 * (2/корень из 2) = 3
3) По теореме синусов AВ /sin C= AC / sinB
sinC = sin105 = sin(180 - 75) = sin75. По таблице Брадиса sin 75 = 0,9659
АВ = АС *sinC : sin30 = 3 * 0,9659 : 0,5 = 5,8
Ответ: угол А = 45 град., АС = 3, АВ = 5,8