Пусть M - середина АС.
Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае - ∠SMH)
SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара.
ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания.
Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.
ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3
НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
НМ = а√3/6
а√3/6 = R√3
a = 6R
ΔSHM: HM / SM = cos 60°
SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2) = 2R√3
Sбок = 1/2 Pabc · SM = 1/2 · 3(6R) · 2R√3 = 18R²√3
Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус.
∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM),
∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30°
ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO
cos 30° = r / R
r = R√3/2
Длина окружности касания:
C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3
Ав=ад , значит уже10 тогда 5:2=2.5, вс=2.5
Ответ во вложении. Если что-то непонятно, пиши.
Диаметр шара, вписанного в куб, равен ребру куба, значит ребро куба а=2R.
Объём куба: Vк=а³=8R³.
Объём шара: Vш=4πR³/3.
Vк:Vш=8R³·3/(4πR³)=6/π=6:π - это ответ.
по т синусов для ΔMFK
MK/sinF=EF/sin<KMF
13√2/4:(√2/2)=KF/0.5
6.5=KF/0.5
KF=3.25
EF=2KF=6.5
<MKF=180-45-30=105
по т косинусов для ΔMKF
MF^2=MK^2+KF62-2*MK*KF*cos45=21.125+10.5625-21.125=3.25^2
по т косинусов для ΔMEF
y^2=EF*2+MF^2-2*EF*MF*cos45
y=13/4*√(5-2√2)≈4.79