Основанием пирамиды SABCD является ромб со стороной √30 и углом ВАD, равным arccos 3/4.
Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 60 градусов. Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, В, С и середину ребра SB. В ответ запишите R².
<span>Ну, баллов много, но задача эта совсем не сложная. Логически она решается "на раз". Все, что надо сообразить - что середина SB - пусть это точка E - проектируется на основание прямо в центр ромба H (точку пересечения диагоналей AC и BD). Это означает, что плоскость ABC и плоскость AEC - перпендикулярны. Сечения сферы этими перпендикулярными плоскостями - это просто окружности, описанные вокруг треугольников ABC (в плоскости ABC) и AEC (в плоскости AEC). То есть на сфере есть две окружности с общей хордой AC (радиусы окружностей очевидно вычисляются из условия), расположенные в перпендикулярных плоскостях. Через середину AC перпендикулярно AC проходит плоскость, очевидно содержащая центр сферы - эта плоскость - геометрическое место точек, равноудаленных от A и C, и в ней центр лежит на таком же расстоянии от B и E (которые тоже лежат в этой плоскости, разумеется). Тут главное - не выдумать случайно, что центр О лежит в плоскости ABC - это не так. А это означает, что центральное сечение является окружностью, описанной вокруг треугольника BEB1, где BB1 - диаметр окружности, описанной вокруг ABC. Точка B1 лежит на продолжении BD. Получается, что для решения задачи надо 1) найти диаметр окружности, описанной вокруг ABC, BB1 = d; 2) найти радиус R окружности, описанной вокруг треугольника BEB1. Это и будет искомый радиус сферы. Теперь можно считать. Пусть a = √30; α = arccos(3/4); </span>Для треугольника ABC x = BH = a*sin(α/2);<span> BB1 = d = a/sin(α/2); это просто теорема синусов для ABC; </span>точно так же для треугольника BEB1 EH = BH*tg(60°) = x*√3; 2*R*sin(60°) = EB1; или, если возвести в квадрат, 4*R^2*(3/4) = EB1^2 = EH^2 + HB1^2 = (d - x)^2 + (x*√3)^2; или 3*R^2 = (d - x)^2 + 3*x^2; при этом d = a/sin(α/2); x = a*sin(α/2); осталось подставить. <span>3*R^2 = a^2*((1/sin(α/2) - sin(α/2))^2 + 3*(sin(α/2))^2) = = a^2*((1/2+cos(α)/2)^2/((1/2-cos(α)/2)) + 3*(1/2-cos(α)/2)); = (подставляем числа) = 30*((7/8)^2/(1/8) + (3/8)) = 30*(49 + 3)/8 = 3*10*52/8; R^2 = 520/8 = 65;</span>
80 = 2 * ( X + Y ) X + Y = 40 --------------- X : Y = 2 : 3 3X = 2Y ---------- Y = 40 - X 3X = 2 * ( 40 - X ) 3X = 80 - 2X 5X = 80 X = 16 ( cm ) одна сторона Y = 40 - 16 = 24 ( cm ) вторая сторона ---------------- S = 16 * 24 = 384 ( cm^2 )