Если a>=0 и b>=0 верно неравенство
a+b>=2*√ab
9a^2+2>= 2*√(2*9*a^2) = 6*√2 *a
2b^2+1>=2*√(2b^2) = 2*√2*b
Переумножая эти неравенства получаем
(9a^2+2)(2b^2+1) >= 6*√2*a *2*√2 *b =24*a*b
(9a^2+2)(2b^2+1)≥24ab
Что и требовалось доказать
Примечание : если a<0 и b<0 , задача эквивалентна a>0 и b >0 , тк a*b > 0 ( произведение двух отрицательных положительно) a^2 и b^2 так же положительны . Если a и b разных знаков , то левая часть положительна , а правая отрицательна . В этом случае неравенство выполняется автоматически.
сначала заметим что
1/2n(2n+2) = 1/4 * 1/n(n+1) = 1/4 *(1/n - 1/(n+1))
1/n(n+1) = (n + 1 - n) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
1/2x4+1/4x6+...1/2n(2n+2) = 1/4*( 1/1*2 + 1/2*3 + .....+ 1/n(n+1)) = 1/4*(1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ..... + 1/n - 1/(n+1)) = 1/4 *( 1 - 1/(n+1)) = 1/4 * (n+1-1)/(n+1) = 1/4*n/(n+1) = n/(4(n+1))