3х^2+8х+2=0; делим на 3;
х^2+2*4/3х+16/9-16/9+2/3=0;
(х+4/3)^2=16/9-6/9=10/9;
х+4/3=+-(10^1/2)/3; х=-4/3+-(10^1/2)/3;
х1=(-4-10^1/2)/3; х2=(-4+10^1/2)/3.
1) Воспользуемся тем что, остаток от деления числа на 3, равен остатку от деления суммы цифр этих чисел на 3.
Тогда 2015=3*671+1 ( остаток равен 1) , («/» значит сравнение по модулю)
2n+S(n) / 1 mod 3
Используя выше перечисленный факт, положим что n=3a+b , тогда S(n)=3x+b
Откуда 2n+S(n) = 6a+3x+3b / 1 mod 3 , но 6a+3x+3b всегда делится на 3 , значит таких чисел нет .
2) аналогично 2014=671*3+1 ( остаток равен 1)
n=3a+b , тогда 4n+S(n)=12a+4b+3x+b=3(4a+x)+5b / 1 mod 3
5b / 1 mod 3
Так как b=0,1,2 перебирая , получаем что при b=2 , 10 / 1 mod 3
Тогда 12a+3x+10=2014 Откуда 4a+x=668 , и так как n<=503 , откуда 3x+2<=(4+9+9) (499 как число с максимальной суммой цифр)
Откуда x<=6 перебирая , получаем что таких чисел нет.
3) 9*k*n+S(n) = 5005
Сравним по модулю 9 , так как 5005 = 556*9+1
Так как n двузначное , то
n=10a+b проставляя
9k*(10a+b)+(a+b)=5005
Или по остаткам
9kb+a+b / 1 mod 9
b(9k+1)+a / 1 mod 9
b+a / 1 mod 9
То есть , двузначное число n Такое , что сумма его стар делится на 9 с остатком 1 , значит a+b=10 , так как 19 не подходит , потому что n двузначное.
Значит n=9a+10
Откуда 9*k*(9a+10)+10=5005
a=(555-10k)/(9k)
555=5*3*37
Перебирая , подходит только k=15
a=3 , b=7
Ответ n=37 , k=15
По формуле Виета , если a,b,c,d корни то по условию a=b, c=d тогда
{2a+2c=10
{a^2+4ac+c^2=37
{2a^2c+2ac^2=-p
{a^2c^2=q
a(5-a)=6
a^2-5a+6=0
a=2 и a=3
c=3 и c=2
p=-60
q=36
То есть при p=-60
Корни (2,2,3,3)
Домножим на оба знаменателя тем самым избавимся от дроби
ПОлучится (4^x=2^2x чтобы вопроса не было) 2^2x -3= 6*2^x-11
Пусть 2^x=t
t^2-6t+8=0
t1=4
t2=2
Возвращаемся к замене 2^x=4 ; 2^x=2^2
x=2
2^x=2
2^x=2^1
x=1
Ответ:1;2.
Имеем:
a-b=3;
a^2-b^2=21;
Решим как систему уранения методом подстановки:
b=a-3 , отсюда
b=5-3=2
Ответ: a=5; b=2