<span><span><span>
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2,
z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
</span><span>Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
</span><span>Точка A2 Точка A3 Точка A4
</span><span> x y z x y z x y z
</span><span> 6 1 4 3 -6 10 7 5 4
</span><span /><span> x-x1 y2-y1 z3-z1 z2-z1 y3-y1 y-y1 x2-x1 x3-x1 z-z1 </span><span> x-x1 -7 0 6 4 y-y1 -3 1 z-z1 </span><span /><span> (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) </span><span> (x-x1) * 0 (x-x1) * 24 (y-y1) * 0 (y-y1) * 6 </span><span /><span> (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) <span> (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1)</span></span><span> (z-z1) * -12 (z-z1) * -7
</span><span /><span><span>Уравнение плоскости A2A3A4</span></span><span> x -x1 0 24 y y1 0 6 z z1 -12 -7 </span><span> -24 144 6 -6 -5 20
</span><span /><span> -24 x + 6 y - 5 z + 158 = 0 или
</span></span></span>24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0<span>
Можно получить это же уравнение так:
</span>Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
<span><span> | x - Вх <span>y - By </span><span>z - Bz| </span>
</span><span><span> |Dx - Вх</span><span> Dy - By </span><span> Dz - Bz| </span></span><span><span> = 0
|Cx - </span><span> Вх Cy - By </span><span> Cz - Bz|
</span></span></span><span><span> |x - 6 y - 1 z - 4|
</span><span> |7 - 6 5 - 1 </span></span> 4 - 4|<span><span> =0
|</span><span>3 - 6 -6 - 1 10 - 4| </span></span><span>
x - 6 y - 1 z - 4
</span> 1 4 0
-3 -7 6 =
= <span>24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4) = </span><span><span>24·x - 6·y + 5·z - 158. </span>
</span><span>Направляющий вектор плоскости: </span>N<span> = {24,-6,5}
</span>
<span>Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
имеет вид:
{x + Ax)/</span>Nx <span>= (y + Ay)/</span>Ny <span>= (z + Az)/</span>Nz<span><span><span>;
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/</span><span>5.
</span></span>
</span>
</span></span></span></span>
</span><span>Тогда уравнение плоскости имеет вид:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
</span><span>Точка A2 Точка A3 Точка A4
</span><span> x y z x y z x y z
</span><span> 6 1 4 3 -6 10 7 5 4
</span><span /><span> x-x1 y2-y1 z3-z1 z2-z1 y3-y1 y-y1 x2-x1 x3-x1 z-z1 </span><span> x-x1 -7 0 6 4 y-y1 -3 1 z-z1 </span><span /><span> (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) </span><span> (x-x1) * 0 (x-x1) * 24 (y-y1) * 0 (y-y1) * 6 </span><span /><span> (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) <span> (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1)</span></span><span> (z-z1) * -12 (z-z1) * -7
</span><span /><span><span>Уравнение плоскости A2A3A4</span></span><span> x -x1 0 24 y y1 0 6 z z1 -12 -7 </span><span> -24 144 6 -6 -5 20
</span><span /><span> -24 x + 6 y - 5 z + 158 = 0 или
</span></span></span>24 x - 6 y + 5 z - 158 = 0<span>
Можно получить это же уравнение так:
</span>Уравнение грани А2А3А4 (условно BDC).
<span><span> | x - Вх <span>y - By </span><span>z - Bz| </span>
</span><span><span> |Dx - Вх</span><span> Dy - By </span><span> Dz - Bz| </span></span><span><span> = 0
|Cx - </span><span> Вх Cy - By </span><span> Cz - Bz|
</span></span></span><span><span> |x - 6 y - 1 z - 4|
</span><span> |7 - 6 5 - 1 </span></span> 4 - 4|<span><span> =0
|</span><span>3 - 6 -6 - 1 10 - 4| </span></span><span>
x - 6 y - 1 z - 4
</span> 1 4 0
-3 -7 6 =
= <span>24·(x - 6) - 6·(y - 1) + 5·(z - 4) = </span><span><span>24·x - 6·y + 5·z - 158. </span>
</span><span>Направляющий вектор плоскости: </span>N<span> = {24,-6,5}
</span>
<span>Уравнение высоты, опущенной из точки A1 на грань A2A3A4:
имеет вид:
{x + Ax)/</span>Nx <span>= (y + Ay)/</span>Ny <span>= (z + Az)/</span>Nz<span><span><span>;
(x + 3)/24 = (y + 6)/-6 = (z + 1)/</span><span>5.
</span></span>
</span>
Для вычисления расстояния от точки А1(<span>3; 6; 1) до плоскости 24</span>x - 6y + 5z - 158 = 0 используем формулу:
<span>d = </span><span>|A·M</span><span>x</span><span> + B·M</span><span>y</span><span> + C·M</span><span>z + D| / </span><span>√A</span><span>2</span><span> +
B</span><span>2</span><span> + C</span><span>2</span><span>
</span>
<span>Подставим в формулу данные</span>
<span><span><span><span> d = <span>|24·3 + (-6)·6 + 5·1 + (-158)|</span></span><span> = <span>|72 - 36 + 5 - 158|/</span><span>√(24</span>²<span> + (-6)</span>²<span> + 5</span>²<span>) =</span></span></span><span><span> 117/√(576 + 36 + 25) = 117/(<span>9√137) </span><span> ≈ </span><span>4.635708782739415.</span></span></span></span></span><span><span><span><span><span><span><span /><span /></span></span></span></span><span><span></span></span></span></span>
<span> </span>
0
0