Объясните, как построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К и в задачах 1-3 найти периметр сече
Объясните, как построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки М, N, К и в задачах 1-3 найти периметр сечения, если М, N, К – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а.
1. Точки M и N лежат в плоскости одной грани ABD. Соединяем их. MN - отрезок сечения. Точки К и N лежат в плоскости одной грани BDС. Соединяем их. КN - отрезок сечения. Точки M и К лежат в плоскости одной грани AСD. Соединяем их. MК - отрезок сечения. MNK - искомое сечение. Отрезки MN, KN и MK - средние линии соответствующих треугольников, значит MN = KN = MK = а/2. Pmnk = 3 · a/2 = 3a/2
2. Построение аналогично заданию 1. Попарно соединяем точки M, N и К, так как каждая пара лежит в плоскости одной грани. Отрезки MN, KN и MK - средние линии соответствующих треугольников, значит MN = KN = MK = а/2. Pmnk = 3 · a/2 = 3a/2
3. Точки M и N, N и К соединяем, так как каждая пара лежит в плоскости одной грани. KN║BD как средняя линия треугольника DBC, ⇒ KN║(ABD). Секущая плоскость проходит через прямую KN и пересекает параллельную ей плоскость (ABD), значит линия пересечения будет параллельна KN. Проводим ЕМ║BD, а так как KN║BD, то ЕМ║KN. EMNK - искомое сечение. ЕМ - средняя линия треугольника ABD, ⇒ ЕМ = а/2, KN - средняя линия треугольника СBD, ⇒ KN = а/2, ЕK - средняя линия треугольника ACD, ⇒ ЕK = а/2, NМ - средняя линия треугольника ABC, ⇒ NМ = а/2, Pemnk = 4 · a/2 = 2a
4. Точки M и N, N и К соединяем, так как каждая пара лежит в плоскости одной грани. MN║AC, ⇒ MN║(ADC), секущая плоскость проходит через MN и пересекает (ADC), значит линия пересечения параллельна MN. Проводим КЕ║АС, а так как MN║AC, ⇒ КЕ║MN. EMNK - искомое сечение.
5. Точки M и N, N и К соединяем, так как каждая пара лежит в плоскости одной грани. (АDC) ∩ (ABC) = АC. Прямые КN и АС лежат в одной плоскости, точка их пересечения - Р. Точки М и Р лежат в одной плоскости (АВС), прямая МР пересекает ребро АВ в точке Е. EMNK - искомое сечение.
6. Точки M и N, N и К соединяем, так как каждая пара лежит в плоскости одной грани. (ВDC) ∩ (ABC) = ВC. Прямые МN и ВС лежат в одной плоскости, точка их пересечения - Р. Точки К и Р лежат в одной плоскости (АВС), прямая КР пересекает ребро АВ в точке Е. EMNK - искомое сечение.
Поскольку расстояния до хорд одинаковой длины в окружности равны (вообще, d^ + (h/2)^ = R^2; где d - расстояние до хорды, h - ее длина), то БЕЗ ПОТЕРИ ОБЩНОСТИ можно свести концы дуг(хорд), то есть считать, что точки N и Р совпадают, а треугольник MP(N)Q - прямоугольный. В самом деле, равной дуге соответствует равная хорда, => и расстояние до неё такое же.
В треугольнике MPQ ОН средняя линяя (раз треугольник прямоугольный - ОН II PQ, и О - середина MQ), поэтому ОН = PQ/2;
Можно всё это рассказывать и "с конца" :)) от точки P отложим дугу (а значит, и хорду), равную MN, конец обозначим за M1. Далее по тексту, доказывается, что ОН1 (перпендикуляр на РМ1) равен PQ/2; но ОН1 = ОН (в начале есть формула связи длины хорды и расстояния до нее:)), чтд.
Оба решения совершенно одинаковы, но отличаются противоположным порядком изложения :)))