Точка M, N и P лежат соответственно на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, причём MN параллельны AC, NP параллельны AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если а) AB=10см, AC=15см, PN:
MN║AC, PN║AB, значит AMNP - параллелограмм, противоположные стороны равны.
MN║AC, ВС - секущая, тогда ∠BNM = ∠BCA как соответственные, ∠В - общий для ΔMBN и ΔАВС, значит ΔMBN подобен ΔАВС по двум углам, ⇒ MN : AC = MB : AB а) Если х - коэффициент пропорциональности, то PN = 2x, MN = 3x. 3x : 15 = (10 - 2x) : 10 30x = 150 - 30x 60x = 150 x = 2,5 PN = AM = 2 · 2,5 = 5 см, MN = AP = 3 · 2,5 = 7,5 см
б) Так как AMNP - параллелограмм, и его смежные стороны равны, то все стороны равны. Пусть х - сторона AMNP. Из подобия треугольников ΔMBN и ΔАВС: MN : AC = MB : AB x : b = (a - x) : a ax = ab - bx ax + bx = ab x(a + b) = ab x = ab / (a + b) PN = AM = MN = AP = ab / (a+ b)