Докажем более общее утверждение, откуда и получим нужный результат.
Вначале для удобства докажем лемму:
Лемма 1:
Для всех
,
.
Доказательство:
Предположим поначалу что
. Обозначим
и докажем что
.
Используя неравенство Бернулли получаем,
(для всех
)
Следовательно,
Откуда из теоремы о двух милиционерах выводим,
Следовательно,
Что и требовалось.
Осталось доказать лемму для
.
Так как
, мы можем воспользоваться уже тем что доказали ранее:
Откуда получаем,
Ч.Т.Д.
Утверждение: Пусть
, тогда
Доказательство:Пусть
число выполняющее
.
Для всех
выполняется,
А также,
Следовательно,
То есть,
Из
Леммы 1 следует:
Откуда при помощи теоремы о двух милиционерах получаем,
Ч.Т.Д.
Теперь с легкостью находим нужный нам предел:
1)
<em><u>Доказано. </u></em>
<em><u>Доказано. </u></em>
<span>Всего возможны 4 варианта: </span>
<span>1 орел-орел, </span>
<span>2 орел-решка, </span>
<span>3 решка-орел, </span>
<span>4 решка-решка. </span>
<span>Вероятность каждого из них 0,25. </span>
<span>Вероятность А: 0,25 (первый случай) + 0,25 (второй случай) = 0,5. </span>
<span>Вероятность В: 0,25 (второй случай) + 0,25 (четвертый случай) = 0,5. </span>
<span>Вероятность пересечения двух событий (реализуются оба сразу): 0,25 (второй случай). </span>
<span>События независимы, т.к. выпадение орла при первом броске не влияет на выпадение решки (или орла) при втором броске.</span>