Медиана прямоугольного треугольника,проведенная к гипотенузе,равна половине гипотенузы⇒CN=2KM=81
Проведем высоту BN. Т.к он равнобедеренный, то AN=NC=2корня из 3.
Рассмотрим треугольник АВN. Угол А=30 градусов(180-120):2), угол АNB=90, значит АВN=30. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Т.к гипотенуза неизвестна, то пусть этот катет х, а гипотенуза=2х.
Найдем их по теореме Пифагора.
х^2+(2корня из3)^2=4х^2
3х^2=12
х^2=4
х=2-катет,это высота, а гипотенуза равна 4-это сторона АВС
Найдем площадь
S=1/2ah
S=1/2*2*4корня из 3=4корня из 3 площадь АВС.
Рассмотрим треугольник МВН. МН-расстояние между серединами сторон, значит это средняя линия, и треугольник МВН подобен АВС.
Рассмотрим МВО, О-середина МН. В нем такие же углы, как и в АВС, значит МВ=2, а ВО=1. Найдем катет ВО, он же высота в МВО.
х^2+1^2=2^2
х=корень из 3, значит МН=2 корня из 3
Найдем площадь МВН.
S=1/2ah=1/2*2корня из3*1=корень из3.
S ABC/S MBH=4корня из 3/корень из 3=4.
Пусть расстояние между АМ и НС-отрезок FD, их середина Т. Рассмотрим FBD.
MN||АС; В ∆ АВС и ∆ MBN угол В - общий, ∠ВNM=∠BCA и ∠BMN=∠BAC как соответственные при пересечении параллельных прямых секущей. ⇒
1) Угол D-68°, угол E-32°, угол С= 180-(D+E) 180-(68+32)=80°.
Биссектриса- прямая, делящая угол пополам. Угол С-80/2=40. Соответственно F = 180-(C+D), 180-(68+40)= 72°.
CFD- 72°.
2) Угол АКN и угол ВКМ равны как вертикальные, значит угол АКВ смежный с углом ВКМ, равен 180-58=112. АКВ= 180- 112=58, а углы А+В=116. Из треугольника АВС угол С= 180-116=64°.
S=abc/4R
где а,б,с это стороны, а R радиус описанной окружности
R=abc/4S=a*a*a/4S=a³/(4*4√3)
S=1/2ab*sinA
мы знаем, что в равностороннем ∆ все углы равны 60°
4√3=1/2а²*(√3/2)
4√3=а²*(√3/4)
а²=4√3 / √3/4
а²=16
а=4
вернёмся в формулу с радиусом
R=a³/(4*4√3)
R=64/4*4√3=16/4√3=4/√3
можем избавиться от иррациональности в знаменателе
R=4/√3=(4√3)/3
ответ: радиус 4/√3 см