В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA1 равно 2 √2 . На рёбрах AB, A1B1 и B1
C1 отмечены точки M , N и K соответственно, причём AM = B1N = C1K = 2 . а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC . Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .
1) MN = √(2²+(2√2)²) = √(4+8) = √12 = 2√3. NK = √(2²+4²-2*2*4*cos60°) = √(4+16-16*(1/2)) = √(20-8) = = √12 = 2√3. Отрезок ML равен <span>NK по свойству секущей плоскости параллельных плоскостей (граней призмы). Аналогично, </span>KL равно <span>MN. </span><span> Доказано, что стороны </span><span>MNKL равны. </span><span>Осталось доказать, что диагонали этого четырёхугольника равны, - тогда он будет квадратом.
Диагональ </span>MK = √(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6. Аналогично NL = <span>√(4²+(2√2)²) = √(16+8) = √24 = 2√6. </span><span> Доказано, что </span><span>MNKL - квадрат. </span><span> 2) В сечении призмы </span>плоскостью MNK <span>имеем пятиугольник. </span>Эту фигуру можно разделить на квадрат MNKL (его площадь S1) и равнобедренный треугольник KPL (S2)<span> : S1 = (2</span>√3)² = 12 кв.ед. Для определения площади треугольника надо найти длины сторон. Точка Р делит сторону СС1 пополам. КР = PL = √(2²+(√2)²) = √(4+2) = √6. KL принимаем равным MN = 2√3. Площадь S2 находим по формуле Герона: S2 = √p(p-a)(p-b)(p-c)). Здесь р - полупериметр треугольника KPL и равен он <span><span>4,1815406. </span></span>Подставив значения сторон, находим: S2 = 3. Отсюда искомая площадь сечения (то есть пятиугольника) равна: S = S1 + S2 = 12 + 3 = 15 кв.ед.