А)проходит плоскость и притом только одна б) проходит бесконечное множество плоскостей
1.
Рассмотрим два случая:
1) прямые а и b пересекаются и лежат в плоскости β. Обе прямые параллельны плоскости α.
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.
Проведем через прямую а плоскость (розовую), пересекающую плоскость α по прямой а'. Согласно выше приведенной теореме, а'║a.
Проведем через прямую b плоскость (зеленую), пересекающую плоскость α по прямой b'. b'║b.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
2) прямые а и b параллельны и лежат в плоскости β. Обе прямые параллельны плоскости α. Из этого не следует, что плоскость β параллельна плоскости α. На рисунке приведен пример, опровергающий утверждение, что плоскости в этом случае параллельны.
Утверждение<span>: если две прямые, которые лежат в одной плоскости, параллельные второй плоскости, то эти плоскости параллельны</span>- неверно.
2.
Точки Е и К лежат в плоскости одной грани. Соединяем их.
Точки Р и К так же соединяем.
КЕ и КР - отрезки сечения.
Найдем точку пересечения прямой КР с плоскостью АВС:
КР лежит в плоскости грани SBC, эта плоскость пересекает плоскость АВС по прямой ВС, значит строим точку пересечения прямой ВС и прямой КР - это точка М.
Точки М и Е, принадлежащие сечению, лежат в одной плоскости АВС, значит прямая МЕ - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью АВС.
ЕС пересекает ребро АС в точке F.
Соединяем P и F, и E и F.
KPFE - искомое сечение.
Даны точки: P (-4;3;-2), Q (-8;3;2)
, R (4;6;-2)
, M (0;3;1)
а) Вектор PQ{-4;0;4}, |PQ| = √(16+0+16) =4√2.
Вектор PR{8;3;0}, |PR| = √(64+9+0) =√73.
Cosα = (-32 +0+0)/(4√2√73) = -8/√146 ≈ - 2/3.
б) Spqr = (1/2)*PQ*PR*Sinα. Sinα = √(1-4/9) = √5/3.
Spqr = (1/2)*4√2*√73*√5/3 = 2*√730/3 ≈ 2*27/3 ≈ 18 ед² .
в) Vmpqr = (1/3)*Spqr*H. Н - расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR.
Найдем вектор нормали плоскости PQR:
| i j k |
|-4 0 4 |
| 8 3 0 | = -12i + 32j -12k => n{-12;32;12}.
Уравнение плоскости PQR:
-12(x-(-4))+32(y-3)+12(z-(-2)) = 0 => 3x-8y-96-3z+30=0 Это общее уравнение плоскости с коэффициентами А=3, В=-8, С=-3, D=30.
расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR рассчитывается по формуле:
d = (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) = (0-24-3+30)/√82 =3/√82≈ 1/3.
Vmpqr = (1/3)*18*1/3 = 2 ед³