1. Справедливо третье равенство. Для доказательства записываем сумму углов треугольника ABC:
A+B+C=180°,
а также сумму углов треугольника AOC:
A/2+C/2+∠AOC=180°.
Умножая второе равенство на 2 и вычитая из полученного равенства первое, получаем
2∠AOC-B=180; ∠AOC=90°+B/2
2. Справедливо второе равенство. Для доказательства обращаем внимание на то, что если высоты AA_1 и CC_1, то в четырехугольнике C_1BA_1O углы C_1 и A_1 - прямые⇒B+∠C_1OA_1=180°⇒
∠AOC=∠C_1OA_180°-B.
Замечание. По умолчанию мы считали известным, что треугольник остроугольный.
На рисунке – треугольник VWR, в который вписана окружность.
Обозначим точки касания окружности и сторон треугольника А, В, С на VW, WR, RV соответственно.
Точка А на стороне VW делит ее пополам. VA=AW.
<em>Стороны треугольника для вписанной окружности - <u>касательные</u></em><u>.
</u><em> Отрезки касательных, проведенных из одной точки, от этой точки до точки касания равны</em>. (свойство).
Тогда CV=AV и BW=AW. СR отмечен как равный AV, и тогда BR=AV. Получается, что треугольник точками касания делится на 6 отрезков, равных AV=8.
Поэтому периметр данного треугольника равен 6•8=48 (ед. длины)