Признак параллельности плоскостей.<span>Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. </span>Теорема 1.<span> Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. </span>Теорема 2.<span> Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. </span> 1)a || b по условию. Значит АА₁ и ВВ₁ лежат в одной плоскости. По теореме 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Значит АВ || A₁B₁. Значит АВВ₁А₁ параллелограмм, у него противоположные стороны параллельны. А раз АВВ₁А₁ параллелограмм, то АВ=А₁В₁
2)Две пересекающиеся прямые АА₁ и ВВ₁ лежат в одной плоскости. То есть плоскость АВА₁В₁ пересекается с плоскостями α и β. По теореме 1, если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Значит АВ || A₁B₁.
3)АА₁ и ВВ₁ параллельны, значит они лежат в одной плоскости. Значит по теореме 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Значит АВ и А₁В₁ тоже параллельны. Получается АВВ₁А₁ параллелограмм - противоположные стороны параллельны. Значит АВ=А₁В₁. Аналогично доказывается и равенство других соответственных сторон.
4)По признаку параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит плоскость АВС || A₁B₁C₁. Получается две плоскости АВС и А₁В₁С₁ пересекаются третьей α. По теореме 1 получается СВ || C₁B₁.
6)Прямые А₁М и В₁М пересекаются в точке М - значит лежат в одной плоскости. По теореме 1 получается АВ || A₁B₁. Значит треугольники МАВ и МА₁В₁ подобны по двум углам . А₁М/AM=A₁B₁/AB A₁M=AA₁+AM=9 значит А₁В₁=6 МВ/MB₁=AM/A₁M=2/3 MB=8
7)Прямые АА₁ и ВВ₁ лежат в одной плоскости. Значит по теореме 1 АВ || A₁B₁. Значит треугольники АОВ и ОА₁В₁ подобны по двум углам (ОАВ=ОА₁В₁ , ОВ₁А₁=ОВА). АО/OA₁=AB/B₁A₁=5/3 AB=12 АО/OA₁=OB/OB₁ OB₁=2,4
По условию 0,1A = B и 0,1B = C => 0,1A = B (1) и 0,1B = 0,01A = C (2). По условию также А - В + С = 19,11 (3) => A - 0,1A + 0,01A = 19,11 => 0,91A = 19,11 => A = 21