По условию ВВ1 перпендикулярен плоскости ромба, поэтому она перпендикулярна любой прямой, проходящей через его основание В, и ВО – проекция наклонной В1О.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ⇒ АС⊥ВО.
Так как АС проходит через основание наклонной В1О и перпендикулярна её проекции, она перпендикулярна наклонной В1О.
<em>Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим одной плоскости, она перпендикулярна этой плоскости</em>. ⇒
АС перпендикулярна плоскости ВВ1О, ч.т.д.
Пойдем от обратного: если АВСD-прямоугольник, то диагональ прямоугольника будет являться гипотенузой и мы ее найдем по т. Пифагора:
АС²=АВ²+ВС², если принять АВ=х, ВС=2х, тогда
х²+4х²=(5√5)²⇒5х²=25*5⇒х=5
АВ=х=5, ВС=2х=2*5=10.
Проверим: 5²+10²=125 √125=5√5.
АВ=5, ВС=10, АС=5√5-это соотношение выполняется только в прямоугольных треугольниках, ⇒АВСD-прямоугольник, что и требовалось доказать.
Графическое решение представлено на прилагаемых эскизах (1) и (2)
Пусть периметры и площади P, p, S, s. Треугольники подобны с коэффициентом подобия k, S/s=k^2, P/p=k=sqrt(S/s)=1,25=5/4 (sqrt - это кв. корень). P+p=117 см, p=4/5*P,