При n = 1 равенство примет вид 2 = 2<span>, следовательно, </span>P<span>(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
</span>
<span>1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) = n^2(n+1)
</span>
Следует проверить (доказать), что P(n<span> + 1), то есть</span>
1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2)= (n+1)^2(n+2)
<span>истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
</span> 1*2 + 2*5 + 3*8 +....+n(3n-1) + (n + 1)(3n + 2) =n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2)
<span>получим
</span>
n^2(n+1) + (n + 1)(3n + 2) = (n + 1) (n^2 + 3n + 2) = (n + 1 )(n + 1)(n + 2) =
= (n + 1)^2 (n + 2)
то есть, P(n<span> + 1) - истинное утверждение.</span>
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.