Значит, сторона равностороннего треугольника равна 12√3:3=4√3.
Тогда площадь треугольника равна S=1/2*a²*sin60°= 1/2*(4√3)²*√3/2=12√3
r=2S/P=2*12√3/12√3=2( см).Это классическое решение, тангенс привязать непросто.
С тангенсом попробуем решить задачу так.
Поскольку треугольник равносторонний, всего его углы равны 60°.
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис.В равностороннем треугольнике биссектрисы являются одновременно высотами и медианами, поэтому центр окружности - точка пересечения медиан.
Радиус вписанной окружности равен 1/3 медианы.
Найдем медиану. Она равна 2√3*tg 60°=2√3*√3=6 (из треугольника, у которого катеты - медиана и половина стороны, на которую она опущена).
Тогда радиус вписанной окружности равен 6:3=2 (см).
Пусть сторона равностороннего треугольника равна
а см. Высота, проведённая к основанию равностороннего треугольника, является ещё и медианой, поэтому делит основание пополам. Таким образом, образуются 2 прямоугольных треугольника с гипотенузами
а, катетом
а/2 и общим катетом. Этот общий катет (по совместительству, высота равностороннего треугольника) найдём через теорему Пифагора:
.
Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают и находятся в точке пересечения высот треугольника. Этой точкой высоты делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда радиус описанной окружности составляет 2/3 высоты треугольника, а радиус вписанной окружности 1/3 высоты, то есть
и
соответственно. Разделим радиус вписанной окружности на радиус вписанной окружности и получим 2. Что и требовалось доказать.
d1 - D d2-d D=d+10 Д^2=4a^2-d^2
Гипотенуза АB=10
Противолежащий катет угла <span>B - AC = 6.
sinB =AC/AB= 6/10 =0.6</span>