1.
Дано: ΔPRQ, ∠R : ∠P : ∠Q = 3 : 7 : 2
Найти: ∠R, ∠P, ∠Q.
Решение.
Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
∠R = 3х, ∠P = 7х, ∠Q = 2х
Сумма углов треугольника 180°:
3x + 7x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 15°
∠R = 3·15° = 45°,
∠P = 7·15° = 105°,
∠Q = 2·15° = 30°
2. Дано: ΔMNK, ∠M = 2∠K, ∠M - ∠N = 20°.
Найти: ∠M, ∠N, ∠K.
Решение:
Пусть ∠К = х, тогда
∠М = 2х, ∠N = 2x - 20°.
Сумма углов треугольника 180°:
x + 2x + 2x - 20° = 180°
5x = 200°
x = 40°
∠K = 40°
∠M = 2·40° = 80°
∠N = 80° - 20° = 60°
Листочек переверни. (Тогда решу).
Треугольник прямоугольный (по обратной теореме Пифагора), поэтому его площадь равна S=8*6/2=24 см^2, полупериметр равен р=(6+8+10)/2=3+4+5=12 см. r=S/p=24/12=2 см. Ответ: r=2 см.
В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC.
Высота DO опускается в центр треугольника О - точку пересечения медиан
(они же высоты и биссектрисы).
Тр-ник AOD - прямоугольный с катетом DO = 8 и гипотенузой AD = 10.
Значит, по теореме Пифагора AO = 6 = 2/3 от высоты тр-ника AH.
AO = 2/3*AH = 6, тогда AH = 6*3/2 = 9 = AB*√3/2.
Отсюда сторона треугольника
AB = BC = AC = 9*2/√3 = 18√3/3 = 6√3
Боковая поверхность пирамиды - это три одинаковых равнобедренных треугольника с основанием BC = 6√3 и боковой стороной BD = CD = 10.
Высота DH (она же биссектриса и медиана) этого тр-ника BCD
DH = √(10^2 - 3^2*3) = √(100 - 9*3) = √(100 - 27) = √73
S = 3*S(BCD) = 3*BC*DH/2 = 3*6√3*√73/2 = 9√219
S2=900π см²; ⇒ R2=30 cм;
О1О2=R2-R1=30-R1=16 cм; R1=30-16=14 см;
S1/π=πR1²/π=R1²=14²=196 cм².
Если S - площадь закрашенной фигуры, то
S=900π-196π=704π; S/π=704 см².
Это решение для условия, что 900π - площадь большего круга.