А батюшка, собственно, грехи не отпускает. Человек приходит на исповедь. Исповедь, в идеале, это рассказ другому о том, что ты смог осознать в себе как грех. Грех - это то, что отдаляет тебя от Бога: твой поступок, твоя мысль, твоя эмоция, твое слово. Исповедь и раскаяние - это не формальность, а действительно работа над собой, своей душой. Вот об этом человек и рассказывает батюшке: не формальное - "я согрешил", а выстраданное.
Ну а священник, принимая исповедь, берет на себя обязательство молиться за тебя, за твою душу. И действительно в молитве обращается к Господу с просьбой отпустить осознанный человеком грех, простить этого человека.
В молитве не произносятся имена тех, кто пришел к исповеди, молитва общая. Но это молитвенное обращение священника, вообще-то дорогого стоит. А что касаемо человеческой природы священнослужителя, то... так ведь и Христос обладал человеческой природой. Жил и совершал чудеса в человеческом теле: сын-то он божий, но и человеческий тоже.
Священники бывают разными, так же как и врачи, учителя, продавцы, инженеры, психологи... Но мы ведь знаем, что есть призвание. И как раз в священники идут по призванию гораздо, гораздо чаще нежели в педагогов, докторов, экономистов и прочее. И, кстати, учат в семинариях без оглядки на страны с развитой экономикой - по старинке, т.е. в разы эффективнее, чем тех же инженеров. Поэтому и на момент "службы" человеческое в священнослужителе утихает, а иное, то что от Бога, проявляет себя.