1) Для того чтобы обратить конечную десятичную дробь в обыкновенную, необходимо числителем записать число, которое в десятичной дроби стоит после десятичного разделителя (запятой), а знаменателем взять число, состоящее из одной единицы в начале и стольких нулей на конце, сколько цифр имеется в десятичной дроби после десятичного разделителя.
Например, дробь 0,07. Записываем числителем число 07, то есть 7. Знаменателем будет служить число 100, поскольку после запятой стоИт две цифры.
Итак, 0,07 = 7/100.
2) Для того чтобы обратить чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, необходимо числителем записать число, равное периоду, а знаменателем взять число, состоящее из стольких цифр 9, сколько цифр имеется в периоде рассматриваемой десятичной дроби.
Например, дробь 0,(23).
0,(23) = 23/99.
Альтернативный способ:
I. Обозначаем нашу дробь переменной x. В правой части записываем числовое значение этой дроби в том виде, в котором она дана (то есть с периодом). Обозначу числовое значение дроби через s. Получаем равенство: x = s.
II. Домножаем дробь на 10^m, где m – количество цифр в периоде. Полученное значение записываем (t). Получаем: 10^m * x = t.
III. Вычисляем разность левых и правых частей выражений, полученных в пунктах (II) и (I). Получаем: 10^m * x – x = t – s. Далее приводим подобные члены в левой и правой частях полученного нами уравнения. При этом периоды в правой части уравнения уничтожатся. Таким образом мы найдём x.
Имеем:
x = 0,(23)
100x = 23,(23)
100x – x = 23,(23) – 0,(23)
99x = 23
x = 23/99.
3) Для того чтобы обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, необходимо: а) числителем записать разность: число, стоЯщее до второго периода, минус число, стоЯщее до первого периода; б) знаменателем записать число, состоящее из стольких цифр 9 в начале, сколько цифр имеется в периоде, и стольких нулей на конце, сколько цифр имеется от десятичного разделителя (запятой) до начала первого периода.
Например, дробь 0,11(4).
0,11(4) = (114 – 11)/900 = 103/900.
Альтернативный способ:
I. Обозначаем нашу дробь переменной x.
II. Домножаем дробь на 10^p, где p – количество цифр от запятой до первого периода. Полученное значение записать (t1). Получаем: (10^p)*x = t1.
III. Домножаем дробь на 10^q, где q – количество цифр от запятой до второго периода. Полученное значение записать (t2). Получаем: (10^q)*x = t2.
IV. Вычисляем разность левых и правых частей выражений, полученных в пунктах (III) и (II). Получаем: (10^q)*x – (10^p)*x = t2 – t1. Далее приводим подобные члены в левой и правой частях полученного нами уравнения. При этом периоды в правой части уравнения уничтожатся. Таким образом мы найдём x.
Имеем:
x = 0,11(4)
100x = 11,(4)
1000x = 114,(4)
1000x – 100x = 114,(4) – 11,(4)
900x = 103
x = 103/900.
Если в результате получившихся операций полученную дробь можно сократить — то это желательно сделать.
Например: 0,1(6) = (16 – 1)/90 = 15/90 = 1/6.