Подводя итоги, привожу своё объяснение.
Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел, принадлежащая полю комплексных чисел.
Само поле комплексных чисел определяется аксиоматически.
Равенство i^2=-1 не может быть принято за определение, т.к. существует два комплексных числа (0;-1) и (0;1), удовлетворяющих этому равенству (в определении не может быть неоднозначности).
Чтобы это доказать, воспользуемся определением умножения комплексных чисел: (a;b)*(c;d)=(a*c-b*d; a*d+b*c).
Тогда
(0;-1)^2=(0;-1)*(0;-1)=(0*0-(-1)*(-1);0*(-1)+(-1)*0))=(-1;0)
(0;1)^2=(0;1)*(0;1)=(0*0-1*1;0*1+1*0))=(-1;0)
Таким образом, существует два комплексных числа, квадрат каждого из которых равен (-1;0).
За определение мнимой единицы берётся равенство i=(0;1). Т.е. это такое комплексное число, действительная часть которого равна нулю, а мнимая - единице. Мнимая единица позволяет представить любое комплексное число (a;b) в форме a+b*i, которая называется алгебраической формой комплексного числа. Всю теорию комплексных чисел можно изложить и на языке алгебраических или других форм. Но и в этих случаях равенство i^2=-1 является свойством мнимой единицы, но не определением.
Вывод: определение комплексной единицы только с помощью равенства i^2=-1 - некорректно.
P.S. наиболее близко к разгадке "тайны" приблизились Mefody66, который заметил, что алгебраических корней из -1 на самом деле два, и simpl[52K], который прямо указал, что i - это комлексное число, у которого a=0 и b=1.
Всем спасибо за обсуждение проблемы.