Чертим произвольную трапецию АВСD (AD - нижнее основание, ВС - верхнее). Продолжи нижнее основание за точку D и отложим отрезок DE, равный ВС. Соединим точки С и Е. Треугольник АСЕ равновелик исходной трапеции. Значит площадь трапеции равна площади треугольника. Легко убедиться также что средняя линия треугольника АСЕ равна средней линии трапеции АВСD, т.е. 6 см. Значит основание треугольника равно 12. Этого уже достаточно, чтобы определить площадь по формуле Герона, и она равна 54. Но, в этой задаче есть "закавыка", вернее даже две. Во-первых, стороны треугольника (9, 12, 15) образуют "египетский" треугольник, откуда следует что меньшая диагональ трапеции перпендикулярна основанию трапеции, т.е. трапеция имеет нестандартный вид, так как угол ВАD оказывается тупым. Вторая "закавыка" заключается в том, что результат не зависит (в определённых пределах) от длин оснований. Положение точки D не закреплено, и она может находиться "правее" точки А на любом расстоянии в пределах от 0 до 12. При крайних положениях трапеция вырождается в треугольник. При расстоянии, равном 6 трапеция вырождается в параллелограмм, в остальных случаях получается набор нестандартных трапеций, причем при переходе через параллелограмм длины оснований обращаются, т.е. ВС становится длиннее, чем АD.
Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, в которую вписана окружность радиусом 4,2 см (О - центр окружности).
По условию задачи AB+CD = 20 см, ON =r = 4,2 см. По теореме о касательной к окружности ON перпендикулярно АВ, то есть равна половине АD. Значит АD=8,4 см. Тогда по теореме об описанном четырехугольнике (сумма противоположных сторон равны): AB+CD=AD+BC. AD+BC=20, BC=20-AD=20-8,4=11,6 см. Ответ: да верно, наклонная боковая сторона трапеции равна 11,6 см.
Основание такой трапеции есть диагональ пятиугольника. Все диагонали в правильном пятиугольнике равны.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению
d/a = (1 + sqrt(5)) / 2
a = R sqrt((5 - sqrt(5))/2)
откуда следует d = R sqrt((5 - sqrt(5))/2) * (1 + sqrt(5))/2
Для доказательства того , что MPTK является ромбом достаточно доказать :
1) MP = PK=KT=MT , или
2) Что диагонали ромба PT и MK перпендикулярны , и делятся в точке пересечения пополам.
Докажем перпендикулярность диагоналей.MK - средняя линия трапеции и параллельна её основаниям ВС и AD , и делит PT пополам.Перпендикулярность диагоналей легко доказать , рассмотрев равнобедренный треугольник ВСТ ,и PT в нём и медиана , и высота. То есть PT перпендикулярна обоим основаниям и средней линии МК , что и требовалось доказать.То что РТ делится МК пополам доказывается по свойству деления пропорциональных отрезков параллельными прямыми.Значит , МРКТ - ромб.
Рассмотри что такое-трапеция;
Трапеция является выпуклым четырехугольником, у которого только две стороны параллельны,а две другие не являются параллельными.
У параллелограмма две противоположные стороны попарно равны и параллельны.
Следовательно трапеция не является параллелограммом.