Если вы снимаете квартиру, то хозяйка вряд ли будет ради вас существенно менять свою жизнь, активно о вас заботиться и оповещать всех знакомых, что не нужно высылать письма на этот адрес. Точно так же вряд ли ЖЭК и прочие коммунальщики будут запросто менять адрес, куда высылать счета за оказанные услуги. Равно как и вы не обязаны решать личные дела хозяйки - вы честно платите за съем квартиры, остальное вас не должно касаться.
Поэтому нужно вычислить, откуда приходит наибольшее количество назойливых писем (кроме ЖЭКа, налоговых служб и прочей официальщины), и сообщить эти пару адресов хозяйке. Пусть сама решает с ними вопрос адреса. Это же ее интерес - вовремя получать извещения - ведь без них она может не узнать, что ей пришли письма. И как вообще она получит сами письма?! Она же в другом городе живет. Вы же не будете за нее ходить на почту, да и доверенность на вас хозяйка вряд ли написала. И вы не обязаны собирать, хранить и передавать извещения. Из ящиков еще и частенько воруют, об этом надо помнить.
С вашей стороны соблюдайте только вежливый минимум: вовремя вынимайте квитанции, письма пенсионного фонда и пр. Все остальное вас касаться не должно. Да и коммунальные счета, по большому счету, хозяйка всегда может уточнить онлайн в личных кабинетах. Такие опции уже несколько лет существуют, очень удобно.