<em>Определите <u>периметр прямоугольника, </u> если его диагональ равна 2√10 м, а площадь 12 м²</em>
<u>Вариант решения </u><em>(если уже знакомы с теоремой косинусов)</em>
Площадь параллелограмма, а прямоугольник, как известно, - параллелограмм, можно найти разными способами, в том числе по формуле
<span>S=0,5•d₁•d₂•sin α /2, где d₁и d₂ - диагонали, α- угол между ними. </span>
В прямоугольнике диагонали равны, поэтому
S=0,5•d²•sin α
12=0,5•(2√10)²•sin α⇒
<span>sin α=2S:d²=24: 40=0,6</span>
<span>sin²α+cos²α=1</span>⇒
<span>cos α=√(1-0,36)=0,8 </span>
<span>Теорема косинусов. </span>
<em>Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними</em>
Эта формула позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащего против неизвестной стороны.
Пусть данный прямоугольник АВСД, и О – точка пересечения его диагоналей.
АВ²=ВО²+АО²-2•BO•AO•cos α
<span>В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому АО=ВО=d/2=√10</span>⇒
Тогда
AB²=10+10-2•(√10)•(√10)•0,8⇒
АВ²=4
<span>АВ=СД=2 м</span>
<span>Из другой формулы площади прямоугольника</span>
<span> S=a•b найдем вторую сторону:</span>
S=АД•AB
<span>12=АД•2</span>
<span>ВС=АД=12:2=6 м</span>
<span>Р=2(AB+BC)=16 м</span>