Это квадратное уравнение решив его можно найти b, потом и а.
В простом треугольнике найти нельзя так как 3 переменных и 2 уравнения. Надо чтобы были данные об угле или соотношении сторон, чтобы можно было составить третье уравение.
Обозначим стороны прямоугольника X и Y. Площадь прямоугольника S=X*Y,периметр P=2X+2Y, откуда X=S/Y=(P-2Y)/2, получаем квадратное уравнение 2X^2-P*X-2S=0. Для его решения находим дискриминант D=P^2-16*S, тогда X=P/4±√(P^2-16*S)/4. Если выполнить аналогичные преобразования для Y, то получим тот же результат Это сначала мне показалось ошибкой. Как разные стороны могут быть одинаковыми? Прямоугольник с одинаковыми сторонами - это квадрат и его стороны =P/4, следовательно дискриминант D=P^2-16*S=0. Так как у прямоугольника стороны разные, то одна большая сторона =P/4+√(P^2-16*S)/4, а меньшая =P/4-√(P^2-16*S)/4.
В случае треугольника решение легко найти для равностороннего треугольника в котором периметр P=3*X, X=P/3 а площадь S=X*h/2,где высота h=(X*√3)/2. Площадь в этом случае лишнее данное и может быть вычислена по формуле S=P^2/12√3.
Рассмотрим прямоугольник. Для начала найдем соотношение для одной стороны относительно периметра получим: х=(Р-2у)/2, где х и у - стороны, а Р - периметр. Теперь используем значение площади, подставив вместо "х", получившееся значение. У нас получилось уравнение с одно неизвестной S=у*(Р-2у)/2. Так мы найдем сторону "у". А после из уравнения периметра высчитываем сторону "х".
С треугольником уравнения будут гораздо сложнее, но в целом представлены будут по такой же схеме. Из периметра высчитываем одну сторону, а после подставляем ее в площадь.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться знаменитой теоремой ковров (the carpet theorem), согласно которой "Если два ковра одинаковой площади перекрывают друг друга, то, не считая перекрытия, их оставшиеся части имеют равные площади".
Спрашивается, при чём тут ковры к нашему параллелограмму?
Представим, что у нас есть два куска ковра, которые покрывают наш параллелограм полностью: Один кусок - ∆TPL, а остаток - фигура, ограниченная замкнутой ломаной A-T-P-L-R-A. Площадь ∆TPL и сумма площадей ∆ATP и ∆PLR равна. Как это доказать?
Проведём линию, параллельную сторонам параллелограмма, от точки P на сторону TL в условную точку O.
∆TPO=∆TPA по второму признаку - у них общая сторона TP и равные прилегающие углы. Угол ATP углу TPO как внутренние накрест лежащие при параллельных AT и PO при секущей TP. Углы APT и PTO тоже равны по той же причине, но при параллельных AR и TL c секущей TP.
Аналогичным образом ∆RPL=∆OLP. Таким образом, площадь ∆TPL = 1/2 площади параллелограмма.
Теперь возьмёмся за иной ковёр из двух кусков.
Площадь фигуры, ограниченной замкнутой ломаной A-I-S-L-R-A равна площади многоугольника
AISLTA, и тоже равна 1/2 площади параллелограмма. Почему я так решил?
Проведем через точки I и S прямые, параллельные AR и TL (на картинке изобразил зелёным).
Каждая пара получившихся треугольников будет равной по тому же второму признаку равенства треугольников.
∆BSL=∆TLS (общая сторона и примыкающие углы равны как внутренние разносторонние при двух параллельных и секущей), ∆IDS=∆SBI, а ∆AID=∆DIS. А поскольку у нас площади этих фигур являются произведением сумм площадей треугольников (красных или соответственно белых на картинке 2), то и получаем, что эти два куска равны по площади, хоть и не обязательно одинаковы по форме.
Таким образом, мы доказали, что площадь ∆TPL = ∆AIS + ∆STL = половине площади параллелограмма S/2
Наконец, приступаем к поиску неизвестной. У нас есть две фигуры, площадь которых равна, хоть они и принципиально отличаются по форме. Это и есть наши два "ковра" AIS + STL и ∆TPL. Они накладываются друг на друга, образовывая фигуры c неизвестной площадью y и z (на картинке 3 - выделены зелёным).
Итак, у нас есть два варианта - либо используем указанное в начале определение из теоремы ковров, либо выводим это самостоятельно.
В варианте 1 нас не интересуют уже y и z, так как
Х+74+5=13+67
X+79=80
x=80-79=1
В варианте 2 мы просто идём через доказанное ранее равенство площадей фигур и подставляем имеющиеся данные:
∆TPL = z+67+y+13
∆AIS + ∆STL = x+z+74+y+5
x+z+74+y+5=z+67+y+13
x+z-z+y-y=67+13-74-5
x=80-79
x=1
Ответ - площадь оранжевого треугольника равна 1
НА самом деле, задача решается легко в одно действие если увидеть сразу эти "ковры" и не доказывать заново теорему.
Еще есть интересное видео на эту же тематику с похожей задачкой. Индийский акцент немного решет уши даже понимающим английский язык, но очень наглядно видно пояснение теоремы.
Можно, конечно и решить эту геометрическую задачу, а можно просто посчитать на пальцах.
Итак, на пальцах - 169 это квадрат числа 13(любой математик знает все квадраты чисел до сотни наизусть), следовательно 1.69 кв.см. - квадрат 1.3 см. 1.3 см умножаем на четыре- получаем 5.2 сантиметра периметр квадрата площадью в 1.69 кв.см.
Математически это будет выглядеть так(записываю словами) - корень квадратный из 1.69 умноженный на четыре =5.2 см.
К сожалению не нашла на клавиатуре знака корня квадратного и потому написала словами, хотя должны быть только цифры.