Учитель прав
Окончания прилагательных и причастий проверяются в данном случае вопросом :
на столе какОМ? - покрытОМ.
стола какОГО ?- покрытОГО.
столом какИМ? - покрытЫМ.
Между предлогом и словом можно вставить ещё какое-нибудь слово (например, за горами - за синими горами) . А приставка пишется слитно и между приставкой и корнем уже ничего не вставить (заходить, например)
Хвост
рог
слон не нужно
врач
кот
глаз