Какова площадь части стола, образованной следом круга?
Круг радиуса 4 см перемещается по столу так, что его центр обходит контур правильного шестиугольника со стороной 4 см. Какова площадь части стола, образованной следом круга?
При перемещении круга вдоль одной из сторон правильного шестиугольника, наиболее удалённые от стороны шестиугольника точки круга начертят прямые, параллельные стороне шестиугольника. В итоге получится прямоугольник 4х8 см, к большим сторонам которого примкнуты полукруги. Так произойдёт при перемещении круга по каждой стороне шестиугольника. Внутренние части получившихся фигур перекрывают друг друга и площадь шестиугольника. Поскольку в задаче не требуется учесть перекрывание, то нам достаточно знать, что исходный шестиугольник полностью входит в результирующую фигуру. Его площадь 6*4*4*√(3)/4=24*√(3) см^2.
На каждой стороне шестиугольника с наружной стороны получились квадраты со стороной 4 см. Площадь каждого 4*4=16 см^2, а всех вместе 6*16=96 см^2. В оставшихся между квадратами промежутках получатся секторы кругов, всего 6 секторов, каждый по 1/6 части полного круга (по 60°). Площадь каждого из секторов равна Пи*4*4/6, а всех вместе 16*Пи см^2. Осталось всё сложить: Искомая площадь равна (24*√(3)+96+16*Пи) см^2.
Начертите отрезок прямой длиной 4 см. Назовём его опорным отрезком. Поставьте ножку циркуля в конец отрезка и начертите окружность радиусом 4 см. Теперь поставьте ножку циркуля на другой конец отрезка и начертите такую же окружность. Теперь к двум окружностям проведите две общие касательные. Получилась фигура, похожая на жёлудь. Если провести перпендикуляры к концам опорного отрезка, то они разделят полученную фигуру на прямоугольник размером 4х8 см и два полукруга радиусом 4 см. Теперь наложите 6 таких фигур на все 6 сторон шестиугольника (так чтобы опорный отрезок каждый раз совпадал со стороной шестиугольника.
Круг покроет примерно фигуру, снятую на рисунке. Она состоит из шести 6-угольников, у каждого расстояние между параллельными сторонами равно диаметру круга 8 см.
Площадь одного такого 6-угольника примерно 55,43 кв.см, а шести - 332,55 кв.см.
Обычно, в математике, площадь фигуры принято обозначать латинской большой буквой S.
Возможно, это произошло от того, что английское слово площадь пишется как surface. Просто взяли первую букву слова и стали для удобства ей обозначать площадь фигуры.
На фото предоставлены формулы вычисления параметров сегмента. При заданных значениях высоты (h) и длины хорды (с), вполне можно определить площадь сегмента. Исходя из формулы в красной рамке, находим радиус, а зеленой – угол. Далее, используем одну из формул вычисления площади.
Вот без этих синусов и арксинусов можно методом последовательных вычислений до требуемой точности. Соединяем отрезками крайние точки хорды с серединой дуги. Площадь полученного треугольника равна
S =hc/2.
Остается два неучтенных малых сегмента отсекаемых отрезками. Далее, поступая аналогичным образом, находим площади треугольников у этих сегментов и т. д. до требуемой точности.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться знаменитой теоремой ковров (the carpet theorem), согласно которой "Если два ковра одинаковой площади перекрывают друг друга, то, не считая перекрытия, их оставшиеся части имеют равные площади".
Спрашивается, при чём тут ковры к нашему параллелограмму?
Представим, что у нас есть два куска ковра, которые покрывают наш параллелограм полностью: Один кусок - ∆TPL, а остаток - фигура, ограниченная замкнутой ломаной A-T-P-L-R-A. Площадь ∆TPL и сумма площадей ∆ATP и ∆PLR равна. Как это доказать?
Проведём линию, параллельную сторонам параллелограмма, от точки P на сторону TL в условную точку O.
∆TPO=∆TPA по второму признаку - у них общая сторона TP и равные прилегающие углы. Угол ATP углу TPO как внутренние накрест лежащие при параллельных AT и PO при секущей TP. Углы APT и PTO тоже равны по той же причине, но при параллельных AR и TL c секущей TP.
Аналогичным образом ∆RPL=∆OLP. Таким образом, площадь ∆TPL = 1/2 площади параллелограмма.
Теперь возьмёмся за иной ковёр из двух кусков.
Площадь фигуры, ограниченной замкнутой ломаной A-I-S-L-R-A равна площади многоугольника
AISLTA, и тоже равна 1/2 площади параллелограмма. Почему я так решил?
Проведем через точки I и S прямые, параллельные AR и TL (на картинке изобразил зелёным).
Каждая пара получившихся треугольников будет равной по тому же второму признаку равенства треугольников.
∆BSL=∆TLS (общая сторона и примыкающие углы равны как внутренние разносторонние при двух параллельных и секущей), ∆IDS=∆SBI, а ∆AID=∆DIS. А поскольку у нас площади этих фигур являются произведением сумм площадей треугольников (красных или соответственно белых на картинке 2), то и получаем, что эти два куска равны по площади, хоть и не обязательно одинаковы по форме.
Таким образом, мы доказали, что площадь ∆TPL = ∆AIS + ∆STL = половине площади параллелограмма S/2
Наконец, приступаем к поиску неизвестной. У нас есть две фигуры, площадь которых равна, хоть они и принципиально отличаются по форме. Это и есть наши два "ковра" AIS + STL и ∆TPL. Они накладываются друг на друга, образовывая фигуры c неизвестной площадью y и z (на картинке 3 - выделены зелёным).
Итак, у нас есть два варианта - либо используем указанное в начале определение из теоремы ковров, либо выводим это самостоятельно.
В варианте 1 нас не интересуют уже y и z, так как
Х+74+5=13+67
X+79=80
x=80-79=1
В варианте 2 мы просто идём через доказанное ранее равенство площадей фигур и подставляем имеющиеся данные:
∆TPL = z+67+y+13
∆AIS + ∆STL = x+z+74+y+5
x+z+74+y+5=z+67+y+13
x+z-z+y-y=67+13-74-5
x=80-79
x=1
Ответ - площадь оранжевого треугольника равна 1
НА самом деле, задача решается легко в одно действие если увидеть сразу эти "ковры" и не доказывать заново теорему.
Еще есть интересное видео на эту же тематику с похожей задачкой. Индийский акцент немного решет уши даже понимающим английский язык, но очень наглядно видно пояснение теоремы.