Надо доказать, что для сторон треугольника выполнено неравенство
a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca²>a³+b³+c³+2abc. Трюк, который я собираюсь использовать, придуман не мной, но он очень эффективен в подобного типа задачах. Он сводится к тому, что мы используем замены a=x+y; b=x+z; c=y+z. То, что такие положительные x, y, z существуют (и, кстати, определены однозначно) следует из возможности вписать в треугольник окружность. Стороны точками касания при этом оказываются разбиты на отрезки, которые разбиваются на три пары равных отрезков - это следует из равенства отрезков касательных. Преимущество такой замены следует из того, что в отличие от сторон треугольника, которые связаны неравенством треугольника, отрезки x, y и z могут быть любыми. После указанной замены и приведения подобных членов (конечно, это требует некоторых навыков и аккуратности) получаем неравенство
2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+12xyz>
2(x³+y³+z³)+5(x²y+xy²+x²z+xz²+y²z+yz²)+4xyz,
которое очевидно.
Решил 6898 шах гг до. При Зои эх
1) d=a2-a1=10-3=7
2) a(n)=a1+d(n-1) => a(n)=164 a1=3 d=7 n?
164=3+7(n-1) 164-3=7n-7 161+7=7n 168=7n n=168/7=24 ответ n=24
2)d=4 S50=5500
S50=(2a1+d(n-1)/2)*n
5500=(2a1+4(50-1)/2)*50 5500/50=(2a1+196)/2 110*2=2a1+196 220-196=2a1
24=2a1 a1=12
10х²+42х-3-х²+10х-9=0
9х²+52х-12=0
D= b²-4ac
D=2704+432=3136
√3136=56
x=-52-56/18=-6
x=-52+56/18=4/18=2/9
Ответ х=-6 и 2/9