A. Продлим медиану АМ до пересечения с продолжением стороны ВС трапеции. Треугольники АМD и СMQ подобны по двум углам (<MCQ=<MDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD, <CMQ =<AMD как вертикальные).
Из подобия имеем: CQ/AD=СM/MD=1 (так как СМ=MD - дано).
Итак, CQ=AD. Тогда BQ=BC+CQ. Но BC=(1/3)*AD (дано), а CQ=AD (доказано выше). Следовательно, BQ=(1/3)*AD+AD, отсюда
3BQ=4AD. BQ/AD=4/3.
Треугольники АРD и ВРQ подобны по двум углам (<РВQ=<РDA как накрест лежащие при параллельных BQ и AD и секущей BD,
<ВРQ =<AРD как вертикальные).
Из подобия имеем: ВР/PD=ВQ/AD=4/3. Что и требовалось доказать.
В. Площадь трапеции АВСD Sabcd=(BC+AD)*BH/2=(2/3)AD*BH.
Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*PH.
Площадь треугольника ABD равна Sabd=(1/2)*AD*BH.
Площадь треугольника AMD равна Samd=(1/2)*AD*MK.
Но МК=(1/2)*ВН (из подобия треугольников AMD и CMQ). Значит Samd=(1/4)*AD*ВН.
Площадь треугольника AРD равна Saрd=(1/2)*AD*РТ.
Но РТ=(3/7)*ВН (из подобия треугольников AMQ и APD). Значит Saрd=(3/14)*AD*ВН.
Площадь треугольника РМD равна
Spmd=Samd-Sapd=(1/4-3/14)*AD*ВН =(1/28)*AD*ВН
Sbcmp=Sabcd-Sabd-Spmd=(2/3-1/2-1/28)AD*BH = (11/84)*AD*BH.
(2/3)AD*BH=56 (дано). Тогда AD*BH=84.
Sbcmp=(11/84)*84=11.
1) Т.к. треугольники ABC=GFD, их углы равны.
уг. A=G, B=F=20; C=D=60
3) Пусть даны равные треугольники ABC и KLM. Из вершин B и L проведем биссектрисы BF и LN.
Рассмотрим треугольники ABF и KLN. В них AB=KL; угол BAF=LKN; угол ABF=B/2=L/2=KLN
След-но, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. =>, BF=LN => биссектрисы равны
4) а)углы DIA=CIB, как вертикальные, => треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам
б) сторона CA - общая, => треугольники равны по двум сторонам и углу между ними
5) Треугольник ABC - равнобедренный, => уг. A=B/ Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (AB=AC, BH=CG, уг. A=уг. B)
Так как биссектриса делит угол пополам,то угол СМВ=угол DMC×2=44×2=88
далее от развернутого угла АМВ отнимаем уголСМВ=180-88=92 градуса угол СМА