Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести «минус» за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):
\[a - b = - (b - a)\]
В дроби вынести «минус» за скобки можно или в числителе, или в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, знак «минус» можно вынести перед дробью:
Рассмотрим другие примеры сокращения алгебраических дробей такого вида.
\[1)\frac{{4ab - 2{b^2}}}{{ab - 2{a^2}}}\]
Сокращать можно только множители!
В числителе и знаменателе дроби — многочлены. Чтобы сократить дробь, надо разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе — a. Вынесем их за скобки:
Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменятся на противоположные):
Если после сокращения перед дробью остался «минус», а в числителе или знаменателе есть разность, «минус» надо внести в разность (при этом знаки слагаемых изменятся на противоположные). Вносим «-» в числитель, -(y-2)=2-y:
То есть, чтобы сменить знаки слагаемых в квадрате разности, «минус» за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это верно не только для квадрата разности, но и для любой другой четной степени:
\[{(a - b)^{2n}} = {(b - a)^{2n}}.\]
В случае возведения разности в нечетную степень при смене знаков слагаемых знак «минус» за скобки выносить нужно:
Сокращение дробей в алгебре — важная составляющая часть сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.
Далее мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.