Итак.
Дано: MN / BD = 1/2
Далее за угол A будем обозначать угол BAD.
Заметим, что угол BMN = угол BNM (симметрия).
Найдём угол MBN. Что бы не писать слово "угол", дальше использую знак _.
_ABM = 90 - _BAM = 90 - _A.
_CDN = _ABM (симметрия) = 90 - _A.
_ABC = 180 - _A
_NBM = _ABC - _ABM - _NBC = (180 - _A) - 2 (90 - _A) = _A. Запомним это.
Итак, _NBM = _DAB и AB/AD = 1 = BM/BN. Тогда треугольники DAB и NBM подобны.
Отсюда следует, что AB/BD = BM/MN.
А по условию MN/BD = 1/2.
Заметим, что треугольник ABM -- прямоугольный, и sin_A = BM/AB.
Найдём BM/AB = BM/MN * MN/AB = BM/MN * MN/BD * BD/AB =
= (BM/NM * BD/AB) * MN/BD = 1 * 1/2 = 1/2
Отсюда sin_A = BM/AB = 1/2. Тогда угол A равен 30 градусам. Соответственно, угол B ромба равен 180-30 = 150 градусам.
Да, минимальный многоугольник это треугольник с 180 градусами, дальше каждый угол прибавляет 180 градусов, т.е. 4-х угольник уже 360, 5-и угольник уже 540 градусов, и т.д. Но чтобы узнать подходит ли твой угол, достаточно его разделить на 180 градусов 1620/180=9, а раз целое число, то значит что существует.
получается равносторонний треугольник АВС все углы по 60, АО высота медиана и биссектриса, значит угол ВАС=60:2=30