Значения синусов и косинусов (и вообще любых функций), а также некоторых чисел, например числа Пи, вычисляются разложением их в ряды. Разложение функций в ряды изучает высшая математика. Пример разложения (и вычисления) синуса приведён в ответе.
Переписывать свой ответ прямо сюда не могу, так как мне припишут неоригинальность (грубо говоря, плагиат), и удалят мой ответ, так со мной уже бывало не раз. Поэтому приходится просто дать ссылку.
Я дам малоизвестные определения, но, такие, которые проливают "свет" на природу данных функций. Итак.
синус (sin) угла - функция, отображающая дискретное значение равное величине отклонения от центра круга абсцыссной проекции точки (проекция на ось Y), движущейся по этому кругу с радиусом в одну единицу, размещенному в декартовой системе координат, с координатами центра круга - (0;0).
косинус (cos) угла - функция, отображающая дискретное значение равное величине отклонения от центра круга ординатной проекции точки (проекция на ось Х), движущейся по этому кругу с радиусом в одну единицу, размещенному в декартовой системе координат, с координатами центра круга - (0;0).
3D модель синус и косинус функций.
тангенс (tg) угла - функция, отображающая дискретное значение равное величине отклонения от центра круга точки пересечения движущегося по кругу луча и касательной, размещенной параллельно абсциссной оси декартовой системы координат, в которой размещены данная касательная (справа или слева от круга круга) и круг с радиусом в единицу и координатами центра - (0;0)
арктангенс (arctan) угла - функция тангенса, развернутая на 90 градусов.
Данные величины находятся из соотношения сторон и углов прямоугольного треугольника.
Имеется прямоугольный треугольник, где угол С - прямой, т.е. равен 90 градусам, АВ - гипотенуза, АС и ВС - катеты.
Тогда:
sin острого угла треугольника будет равно соотношению противолежащего (к углу) катета к гипотенузе.
sin А=СВ/АВ,
sin В=АС/АВ.
cos острого угла треугольника будет равен соотношению прилежащего (к углу) катета к гипотенузе.
cos А=АС/АВ,
cos В=ВС/АВ.
tg - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg А=СВ/АС,
tg В=АС/СВ.
Так же тангенс находится из соотношения tg=sin/cos.
ctg - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
ctg А=АС/СВ,
ctg В=СВ/АС.
Котангенс можно вычислить из соотношения ctg=cos/sin
В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Чтобы было понятней, нужно начертить прямоугольный треугольник OAB, обозначить буквами углы О,А,В, катеты ОА, АВ и гипотенузу ОВ, острый угол α у вершины О.
Тогда:
синусом угла называется отношение отношение противолежащего катета к гипотенузе;
косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;
тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему;
котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему;
секансом угла называется отношение гипотенузы к прилежащему катету;
косекансом угла называется отношение гипотенузы к противолежащему катету.
Непосредственно многим людям тригонометрические функции не нужны,точнее как- будто бы не нужны.Но вся техника стоит на синусах и косинусах,электроэнергия ,переменный ток изменяется по синусоидальному закону,многие процессы в природе описываются с применением тригонометрии.Даже в повседневной жизни на постройке своего дома и то нужно применять синусы непосредственно.Опосредственно без них нельзя уже обойтись человечеству.