Нужно найти область значения функции. Для этого используются разные методы.
1)
![y=\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D%5Csqrt%7Bx-3%7D-%5Csqrt%7Bx%2B3%7D)
Чтобы уравнение существовало, необходимо решать его на области определения, то есть при таких значениях х, когда подкоренные выражения неотрицательны.
![\left \{ {{x-3\geq 0} \atop {x+3\geq 0}} \right. , \left \{ {{x\geq 3} \atop {x\geq -3}} \right. , x\geq 3](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx-3%5Cgeq%200%7D%20%5Catop%20%7Bx%2B3%5Cgeq%200%7D%7D%20%5Cright.%20%2C%20%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Bx%5Cgeq%203%7D%20%5Catop%20%7Bx%5Cgeq%20-3%7D%7D%20%5Cright.%20%2C%20x%5Cgeq%203)
При этом
![\sqrt{x-3}\geq 0, \sqrt{x+3}\geq \sqrt6](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bx-3%7D%5Cgeq%200%2C%20%5Csqrt%7Bx%2B3%7D%5Cgeq%20%5Csqrt6)
Получается, второй корень при любых значениях х, принадлежащих области определения, по модулю больше первого корня. А в этом случае (когда вычитаемое больше уменьшаемого) разность отрицательна. Наибольшее значение выражения равно
![-\sqrt6](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Csqrt6)
, так что область значений:
![D(y)=[-\sqrt6;0)](https://tex.z-dn.net/?f=D%28y%29%3D%5B-%5Csqrt6%3B0%29)
2) Область определения:
![\left \{ {{-x^2+4x-3\geq0} \atop {4-x^2\neq0}} \right. , \left \{ {{(x-1)(x-3)\leq0} \atop {x\neq \pm2}} \right. , \left \{ {{1\leq x\leq3} \atop {x\neq \pm2}} \right. , 1\leq x\ \textless \ 2, 2\ \textless \ x\leq 3](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B-x%5E2%2B4x-3%5Cgeq0%7D%20%5Catop%20%7B4-x%5E2%5Cneq0%7D%7D%20%5Cright.%20%2C%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B%28x-1%29%28x-3%29%5Cleq0%7D%20%5Catop%20%7Bx%5Cneq%20%5Cpm2%7D%7D%20%5Cright.%20%2C%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7B1%5Cleq%20x%5Cleq3%7D%20%5Catop%20%7Bx%5Cneq%20%5Cpm2%7D%7D%20%5Cright.%20%2C%201%5Cleq%20x%5C%20%5Ctextless%20%5C%202%2C%202%5C%20%5Ctextless%20%5C%20x%5Cleq%203)
В точке х=2 парабола (подкоренное выражение числителя) имела бы точку максимума, у=1. Но в этой же точке знаменатель обращается в 0, поэтому наша функция уходит на плюс бесконечность.
В точках х=1 и х=3 парабола пересекается ось иксов, поэтому числитель равен 0 при этих значениях. Знаменатель в 0 не обращается, так что в этих точках функция принимает нулевое значение. Итак, область значения функции
![D(y)=(-\infty, 0)\cup (0, +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=D%28y%29%3D%28-%5Cinfty%2C%200%29%5Ccup%20%280%2C%20%2B%5Cinfty%29)
3) Косинус - функция ограниченная, принимает значения от -1 до +1. x^2 - парабола, ветви вверх, вершина в начале координат. При х=0 парабола дает 0, косинус - 1, в сумме 1. При х=1 парабола дает 1, а косинус - примерно -0,416, в сумме получается 0,584. Так что округляя, можно прикинуть, что функция принимает значения (0.58, +бесконечность)
4) ОДЗ:
![3x-x^2\ \textgreater \ 0\\ x^2-3x\ \textless \ 0\\ x(x-3)\ \textless \ 0\\ x\ \textless \ 0, x\ \textgreater \ 3](https://tex.z-dn.net/?f=3x-x%5E2%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%5C%5C%0Ax%5E2-3x%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%5C%5C%0Ax%28x-3%29%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%5C%5C%0Ax%5C%20%5Ctextless%20%5C%200%2C%20x%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%203)
На этой области определения функция принимает значения от -беск до +беск
5) ОДЗ:
![sinx-1\geq 0\\ sinx\geq1\\ sinx=1](https://tex.z-dn.net/?f=sinx-1%5Cgeq%200%5C%5C%0Asinx%5Cgeq1%5C%5C%0Asinx%3D1)
Значит, подкоренное выражение может принимать только 0 значение, а корень из 0 тоже 0. Так что в этом случае область значений состоит только из одного числа - 0.