а) Да, например, первый набрал 100 баллов, второй 70, третий – 10. Средний балл, не сдавших тест, первоначально был (70+10)/2 = 40, а после добавления по 5 очков каждому участнику стало 105, 75 и 15, тогда средний балл, не сдавших тест, составил 15, так как 75 достаточно для сдачи теста.
б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, сначала был 100 баллов, а после добавления стал (105+75)/2 = 90 баллов.
в) Судя по условию, здесь немного другое условие. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал 83 балла.
Пусть из N участников сдали тест a участников, после добавления стало b участников, сдавших тест. Заметим, что средний балл после добавления составил (90N + 5N)/N = 95.
Имеем два уравнения:
{ 90N = 75(N - a) + 100a = 75N - 75a + 100a = 75N + 25a
{ 95N = 79(N - b) + 103b = 79N - 79b + 103b = 79N + 24b
откуда
{ 15N = 25a, то есть 3N = 5a
{ 16N = 24b, то есть 2N = 3b
Таким образом, N кратно 15, потому что делится на 3 и на 5.
Покажем, что минимальное N = 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 74 балла, 1 участник — 80 баллов и 9 участников по 100 баллов.
Тогда средний балл был (5*74+80+9*100)/15 = 1350/15 = 90, средний бал сдавших тест, был 100, а средний балл не сдавших тест, был (5*74+80)/6 = 450/6 = 75.
После добавления стало: 5 участников по 79 баллов, 1 участник — 85 баллов и 9 участников по 105 баллов.
Теперь средний балл участников всех участников стал (5*79+85+9*105)/15 = 1425/15 = 95, средний балл сдавших тест, стал равен (85+9*105)/15 = 1030/10 = 103, средний балл не сдавших тест, стал равен 79.
Таким образом, все условия выполнены.