Оба угла AOC и ABC опираются на одну и ту же дугу AC.
Но угол ABC вписанный и он равен половине дуги, на которую он опирается, а угол AOC центральный и он равен дуге, на которую он опирается ⇒ ∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 30° = 60°
Могу предположить, что в равностороннем треугольнике надо провести высоту, а сторона на которую она опущена будет равна искомой стороне. Далее решаем по теореме Пифагора(гипотенуза будет являться стороной равностороннего треугольника).
Предположим, что высота равна 4(один из катетов), тогда второй катет будет равен X, а гипотенуза равна 2X.
Решаем по теореме: X2(в квадрате)+4(в квадрате)=2 X2(в квадрате)
2 X2-X2=16
X2=16
x=4
Т.е. сторона треугольника равна 8
Треугольник АВС ( А-вверху, В-слева, С-справа)
угол В=180-100-40=40
угол С=углу В=40 значит, треуг. АВС-равнобедренный (АВ, АС-боковые стороны, ВС-основание).
Проводим биссектр. СК
угол ВСК=углуАСК=40/2=20
угол АКС=180-100-20=60
угол СКВ=180-20-40=120
Есть формула длины хорды: L=2*R*Sin(α/2), где α - центральный угол, а R - радиус окружности. В нашем случае это радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Угол САN - вписанный угол и равен 45°, (так как <CAN=<BAC - <BAM = 75°-30°=45°), значит центральный угол CON равен 90°, а его половина равна 45°. Найдем радиус: R=AC/(2*Sin45°) = √2/2*(√2/2) = 1.
Зная радиус окружности, найдем величину половины центрального угла АОВ, а, следовательно, величину вписанного угла АСВ . Он равен arcsin(α/2)=AB/(2*R) = √3/2. То есть угол АСВ равен = 60°. Но угол ВСN равен 30°, как вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол ВАN. Значит угол АСN = <ACB+<BCN = 60°+30°=90°.
Итак, угол АСN прямой, значит АN - диаметр и равен 2*R = 2.
Ответ: длина АN = 2.
Рассмотрим Δ АВС и ΔАСД:
Стороны АВ=СД, ВС=АД - равны по условию задачи ;
сторона АС - общая сторона Δ АВС и Δ АДС
Следовательно, ΔАВС = ΔАСД - по 3 признаку равенства треугольников ( по трём сторонам).