Как расставить числа от 1 до 9 в клетки?

Вы все правильно написали, только чисел из одинаковых цифр, не одно, а 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

И у всех сумма цифр, естественно, четная.

Но решение обеих задач

"Почему чисел с четной суммой цифр нечетное количество" и "Почему чисел с нечетной суммой цифр нечетное количество"

намного проще, чем вы расписываете.

Очевидно, что числа с четной и нечетной суммой цифр идут через одно.

Поэтому их одинаковое количество. А так как всего двузначных чисел ровно 90, то чисел каждого вида по 45.

Автором является Владимир Игоревич Арнольд . Задача впервые была сформулирована в 1956 году.

В общем виде формулировка такая

впрочем задача эта имеет и другое название "задача о салфетке Маргулиса", хотя Маргулис ещё был школьником, когда Владимир Игоревич формулировал свою задачу, но с 1991 года оказался на ПМЖ в США, и там задача приобрела известность под именем совсем даже не изначального автора.

Решение задачи неоднозначно, предлагались многие частные варианты. Считается, что наиболее полное решение было предложено Алексеем Тарасовым

Но при этом идёт оговорка, что решение чисто теоретическое, так как "рубль" нужно свернуть в 16 раз, а на практике сворачивать бумажку более, чем в восемь раз не получается.

А ведь задача простая, потому что три неизвестных, и можно составить 3 уравненияИ как следствие по этим входным данным определяется каждое неизвестное.

Пусть у1-проехали велосипедисты в первый день.

у2 - проехали во второй день.

у3 -проехали за третий день.

Составим систему уравнений по условию:

у1 + у2 + у3 =154, (1)

у1 + у2 = 108 , (2)

у2 + у3 = 96, (3)

Вычитая из (1)-(2), получаем :

у3 = 154 - 108 = 46 ,

Далее из (3) найдём у2 = 96 - у3 =96 - 46 = 50,

и остаётся найти только у1 = 108-у2 = 108 - 50 = 58.

Учитывая, что идёт речь о расстоянии, которое проехали оба велосипедиста вместе, а не по отдельности, получим,

что в первый день проехали 58 км, второй день - 50 км, в третий день -46 км.

Вставная нить влияет на распределение веса пластины между пружинами за счет отклонения ее от горизонтального положения. Данных значений в условии достаточно для определения ее длины s.

Разберем решение задачи в общем виде (см. левый рис.). Обозначим ширину и длину пластины соответственно через (b) и (а), а удлинение пружин - L₁ и L₂. Длина вставной нити s слагается из разности удлинения пружин n₁ = L₁ - L₂ и h - наклона пластины

s = n₁ + h (1).

Отвесная линия, проходящая через точку крепления левой пружины к пластине, является диагональю прямоугольника, выделенного синим цветом со сторонами b и с. Следовательно, этот участок пластины полностью удерживается этой пружиной. Вес участка пластины, закрашенного зеленым цветом, распределен между двумя пружинами поровну, так как симметрично расположен относительно их. Толщина пластины равномерна, поэтому вес частей пластины пропорционален площадям окрашенных участков. Тогда растяжение пружин тоже пропорционально этим площадям

L₁/L₂ =(bc+(ba-bc)/2)/((ba­-bc)/2) .

После преобразования относительно (с) имеем

c = а(L₁ - L₂)/(L₁ + L₂)

Сократим запись формулы заменой (L₁ - L₂) = n₁ , (L₁ + L₂) = m₁

c = а*n₁/m₁ (2).

Определяем длину диагонали d синего прямоугольника

d = √(b²+с²) = √(b²+ (а*n₁/m₁)²) (3).

На основании подобия треугольников составляем пропорцию

с/d = h/а, откуда h = с*а/d (4).

Полученные величины h, с, и d вставляем в выражение (1) и преобразуем

s = n₁ + а²/√((b*m₁/n₁)² + а²) (5).

Вычисляем длину вставной нити

s = 40+ 234²/√((123*122/40)² + 234²) ≈ 183,8413 (мм).

Первую часть задачи решили.

На рисунке справа второй вариант расположения утяжеленной в два раза пластины. В принципе он ничем не отличается от первого. Если бы были известны удлинения пружин L₃ и L₄, можно было, используя формулу (5) аналогично вычислить длину вставной нити. Получили бы тот же результат - s ≈ 183,8413 (мм). Но в данном варианте по условию неизвестна величина n₂.

Запишем уравнение (5) иначе

s - n₂ - а²/√((b*m₂/n₂)² + а²) = 0 (6).

Приведя его к стандартному виду относительно неизвестной n₂, получим уравнение четвертой степени. Воспользовавшись онлайн калькулятором можно найти его корни.

Несложно вычислить значение n₂ в Excel, просто подбором походящего по точности значения, вводимого в (6). Но мне более импонирует метод последовательных приближений (итераций), в частности - метод секущих. С точностью четвертого знаки после запятой n₂ = 62 (мм). Далее составляем систему

L₃ + L₄ = 244,

L₃ - L₄ = 62.

В результате решения имеем L₃ = 153 мм, L₄ = 91 мм.

При одинаковом расходе топлива всё более или менее просто. При полной заправке обоих автомобилей в гараже останется 72 л, поэтому очевидно, что для рационального использования топлива возвращаться в гараж на дозаправку должен второй автомобиль. При этом остановка с первыми манипуляциями по переливанию должна состояться на расстоянии, равном количеству литров в первом автомобиле после указанных манипуляций. Так через х км у первой машины в баке останется (36 - х) л, у второй - (72 - х) л. При этом второму автомобилю необходимо оставить х л, чтобы добраться за гаража, т.е. перелить из первой машины во вторую можно не более (72 - 2х) л, после чего в первой машине будет (108 - 3х) л. И если это количество будет равным х л, то второй автомобиль после дозаправки в гараже, возвращения к месту остановки и переливания топлива из первой машины во вторую будет иметь полный бак и сможет уехать от гаража на расстояние (72 + х) км.

Итак, (108 - 3х) = х, откуда х = 27 км, стало быть, второй автомобиль сможет максимально отъехать от гаража на расстояние 99 км.

А вот при разном расходе топлива уже сложнее. И я совсем не уверена, что предложенный мной вариант верный (но уж всяко лучше, чем у двух предыдущих отвечающих).

Допустим, первая остановка состоялась на расстоянии х км, к этому моменту в баке первого автомобиля (36 - 0,04х) л, второго - (72 - 0,07х) л. Второму автомобилю на возвращение в гараж понадобится 0,07х л, значит, перелить в первую машину можно максимум (72 - 0,14) л, при условии что 0,04х ≥ 72 - 0,14х или х ≥ 400.

Через 400 км в баке первого автомобиля останется 20 л, второго - 44 л. Доливаем бак первого доверху, и второму как раз хватает, чтобы вернуться на дозаправку. Поскольку бак первого полон, а расход топлива у него в 1,75 меньше, чем у второго, стоять на месте ему нет резона. Ну и пусть он отъедет еще на у км, в баке при этом у него останется (36 - 0,04у) л, а когда вторая машина доедет до первой, у нее останется (44 - 0,07у) л, оптимально, если именно столько литров понадобится, чтобы залить бак первого автомобиля полностью, т.е. если 0,04у = 44 - 0,07 у или у = 400. Тогда первый автомобиль может удалиться от гаража на (400 + 400 + 900) = 1700 км.