Конкретно про практическое применение мощности множеств.
Древние греки начали изучать иррациональные числа, когда построили диагональ квадрата и внезапно поняли, что её нельзя измерить, то есть выразить как часть длины стороны этого квадрата.
То есть длина диагонали квадрата не входит во множество рациональных чисел.
А потом Архимед экспериментировал с правильным 96-угольником, сделал переход к окружности и получил число Пи, как отношение длины окружности к её диаметру. Выяснилось, что Пи можно представить только приближенно.
Его нельзя представить ни как дробь, ни в радикалах любой степени из любого числа, ни как корень никакого уравнения с рациональными коэффициентами.
Такие числа назвали трансцендентным, что значит "нельзя понять умом".
Второе известное трансцендентное число - е, основание натуральных логарифмов,было получено уже в средние века.