Установить интервалы выпуклости и вогнутости функций, заданных уравнениями.
A)y = 2-x²
Б) y=x⁵+5x-6
В) y=(x+1)²(x-2)
Решение
A)y = 2-x²
Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции
y' = -2x
y" = -2<0
Следовательно данная функция(задано уравнение параболы
ветви которой направлены вниз) на всей области определения выпукла вверх(обозначается ∩).
Б) y=x⁵+5x-6 (или y = x³+5x-6 так как на фото степень видна плохо)
Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции
y' = (x⁵+5x-6)'=5x⁴+5 (или y'=(x³+5x-6)' =3x²+5)
y" = (5x⁴+5)'=20х³ (или y"=(3x²+5)'=6x)
Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения
20х³ = 0 (или 6х=0)
х=0 х=0
На числовой прямой отразим эту точку и найдем изменение знаков второй производной в окрестности этой точки
- 0 +
---------------------!--------------
0
Вторая производная отрицательна на промежутке (-∞;0) следовательно функция на этом промежутке выпукла вверх(обозначается ∩)
Вторая производная положительна на промежутке (0;+∞) следовательно функция на этом промежутке вогнута вниз(обозначается U)
В точке х=0 y(0)=-6 функция имеет точку перегиба
В) y=(x+1)²(x-2)
Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем вторую производную заданной функции
y' = ((x+1)²(x-2))'=((x+1)²)'(x-2)+(x+1)²((x-2))'=2(x+1)(x-2)+(x+1)²=
= (x+1)(2(x-2)+(x+1))=(x+1)(3x-3)=3(x+1)(x-1)=3(x²-1)=3x²-3
y"= (3x²-3)'= 6x
Приравняем к нулю вторую производную и найдем корни полученного уравнения
6х=0
х=0
На числовой прямой отразим эту точку и найдем изменение знаков второй производной в окрестности этой точки
- 0 +
---------------------!--------------
0
Вторая производная отрицательна на промежутке (-∞;0) следовательно функция на этом промежутке выпукла вверх(обозначается ∩)
Вторая производная положительна на промежутке (0;+∞) следовательно функция на этом промежутке вогнута вниз(обозначается U)
В точке х=0 y(0)=-2 функция имеет точку перегиба