<em>1. Пусть ∠А=α; т.к. центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы, то </em>
<em>АО=ВО=СО=R, и ∠А=∠В, как углы при основании равнобедренного ΔАОВ. Тогда ∠АОВ=180°-2∠А=180°-2α</em>
<em>2. Рассмотрим Δ ВОТ, где Т- основание высоты, проведенной к гипотенузе. ∠АОВ для него внешний угол при вершине О, потому равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов ΔАОВ, один из которых по условию равен углу А, это ∠ОВТ=α, а другой ∠ОТВ=90°, тогда используя свойство внешнего угла ∠АОВ=∠ОТВ+∠ОВТ, перепишем последнее равенство так 180-2α=90+α, откуда 3α=180-90; α=90/3=30, Значит, </em>
<em>ОТ= ОВ/2=R/2=0.5R, как катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном ΔВОТ.</em>
<em>Зная теперь АО и ОТ, найдем искомое расстояние АТ=АО+ОТ = R+0.5R=1.5R</em>
<em>Ответ 1.5R</em>