Решение начинаем с рисунка.
Продолжим АО до пересечения с окружностью в точке К.
Соединим К и В.
Угол АВК - прямой ( опирается на диаметр КА).
Отсюда угол СВК=90°-78°=12°
Угол КАС=углу СВК ( опираются на одну и ту же дугу СК)
Треугольник АОС равнобедренный ( АО=ОС как радиусы). ⇒ угол САО=углу АСО=12°
Угол ВАС=ВАО+ОАС=69°+12°==81°
Тогда угол АСВ=180°-(ВАС+АВС)=180°-(81°+78°)=21°
Угол ВСО=ВСА-МСА=21°-12°=9 <span>°</span>
9. Соединим точки MN. Обозначим точку пересечения MN и ОК буковой L. Получим треугольник MNK. Этот треугольник равнобедренный, т.к. MK и NK равны как как две касательные, проведенные к окружности из одной точки.
Углы МКО и NКО равны по определению (касательные, проведенные к окружности из одной точки) или из равенства треугольников ОМК и ОNК по признаку равенства сторон (если соединим точку О с точками М и N.
Отсюда KL в треугольнике MKN является биссектрисой.
Следовательно угол MKN равен 60 гр., а значит треугольник MKN равносторонний. Т.о. MN=MK=15.
10. Треугольник ОВМ прямоугольный, т.к. по определению ОВ перпендикулярно ВМ как радиус, проведенный к точке касания.
ВМ находим как катет треугольника ОВМ, в котором другой катет ОВ=20, а гипотенуза ОМ=30.
АМ есть разница ОМ-ОА. ОМ нам известно из условия. ОА - это радиус, т.е равно ОВ=20.
Основное свойство пропорции:
произведение крайних членов равно произведению средних
5АС=4СD
CD=5AC/4=(5/4)CD
Так как треугольник прямоугольный, да еще и с углов в 45 градусов, то отсюда следует что оба катета равны, а по теореме пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов, т.е. 3кв.корня из 2 возводим в квадрат...
(3кр.2)^2=9*2=18(без кв. корня)
18/2=кв.корень из9
кв.корень из 9=3
Ответ: оба катета равны 3см.