<span>Даны точки a (0; -2; 0) и b (1; 2; -1), О - начало координат
1. На оси z найдите точку М ( 0; 0; z), равноудаленую от точек А и В.
Точка М лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину.
Вектор АВ: (1-0=1; 2-(-2)=4; -1-0=-1) = (1; 4; -1).
Пусть это </span>данный вектор <span>→n</span><span> = {</span>A<span>, </span>B<span>, </span>C}.<span>
Точка Р - середина АВ: ((0+1)/2=0,5; (-2+2)/2=0; (0+(-1))/2=-0,5) =
= (0,5; 0; -0,5).
</span>Точка P<span> принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор</span>
<span>MP</span><span> = {(</span>x<span> − </span>x0)<span>, (</span>y<span> − </span>y0)<span>, (</span>z<span> − </span>z0)<span>} ортогонален вектору </span><span>→n</span><span> = {</span>A<span>, </span>B<span>, </span>C<span>}.
</span>Нам дана <span>точка М ( 0; 0; z).
</span>
Условие ортогональности этих векторов (<span>→n</span>, <span>MP</span>) = 0 в координатной форме:
<span><span>A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0</span>.</span>
Это и есть искомое уравнение.
<span>То есть, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую–нибудь точку, принадлежащую плоскости.</span>
Подставим координаты вектора АВ (→n = {A=1, B=4, C=-1}) и точки Р: (0,5; 0; -0,5).
Получаем уравнение плоскости: 1(x-0,5)+4y-1(z+0,5) = 0.
По заданию х и у = 0.
-0,5 - z - 0,5 = 0.
z = -1.
Ответ: M(0; 0; -1).
<span>2. Найдите точку С (x; y; z) такую, чтобы векторы CO и АВ были равными.
У равных векторов равны их координаты.
</span>Вектор АВ: (1; 4; -1).
<span>Так как конец вектора в точке О(0; 0; 0), то координаты точки С будут с обратным знаком к вектору АВ.
Ответ: С(-</span>1; -4; 1).
<span>3. При каком значении x вектор u (x; 2; 1) будет перпендикулярен вектору AB.
</span>
Два вектора будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение будет равняться нулю.То есть, должно выполняться условие: ax*bx + ay*by + az*bz = 0
Подставим в него заданные координаты векторов АВ: (1; 4; -1) и u (x; 2; 1), получим: 1*х +4*2 + (-1)*1 = 0
Из полученного уравнения найдем : х = 1 - 8 = -7.
Ответ. Векторы АВ и u будут перпендикулярны при x = -7.