Треугольники АВС и КВМ подобны, так как <B у них общий, а стороны, образующие этот угол пропорциональны: ВМ/ВС=ВК/АВ=1/3.Тогда отрезок МК=24*(1/3)=8. По теореме косинусов в треугольнике АВС: CosA=(AB²+AC²-BC²)/(2*АВ*AC) = (12²+24²-18²)/(2*12*24). CosA=(720-324)/576=0,6875. По теореме косинусов в треугольнике АМС: МС²=АМ²+АС²-2*АМ*АС*CosA = 36+576-2*12*0,6875=414. По теореме косинусов в треугольнике КМС: CosK = (MK²+KC²-MC²)/(2*MK*KC) = (64+196-414)/224=-0,6875. Мы видим, что косинусы углов А и К в четырехугольнике АМКС отличаются только знаком. Следовательно, они в сумме равны 180°, а это значит, что около четырехугольника АМКС можно описать окружность и притом ТОЛЬКО ОДНУ. Что и требовалось доказать. Значит, чтобы найти радиус этой окружности, достаточно найти радиус описанной окружности любого из треугольников АМС или КМС. Найдем радиус описанной окружности треугольника АМС по теореме синусов : МС/SinA = 2R. SinA=√(1-Cos²A) = √(1-0,6875²) ≈ 0,726. R=MC/2*SinA = √414/(2*0,726) ≈ 14 ед. Ответ: R=14 ед.
Треугольники подобны по третьему признаку, т.к. их стороны соответственно пропорциональны: 5/10=12/24=18/36. Отсюда коэффициент подобия равен 1/2, тогда отношение площаей треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. 1/4.