Даны вершины пирамиды: <span>А (9,5,5); В (-3,7,1); С (5,7,8); Д (6,9,2).
1) </span><span><span /><span><span><span> Расчет длин сторон.</span>
</span><span> АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= </span></span></span>√<span><span>164 = 12,8062,
</span><span>BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = </span></span>√<span><span>113 = 10,6301,
</span><span> AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = </span></span>√<span>29 = 5,38516,
</span><span><span /><span> АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²)= </span></span>√<span><span>34 = 5,83095,
</span><span> BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²+(Zд-Zв)²) = </span></span>√<span><span>86 = 9,27362,
</span><span> CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) = </span></span>√<span>41 = 6,40312.
</span><span>2) угол между ребрами.
Определяем координаты векторов, которыми являются рёбра пирамиды.
</span><span><span> x y z
</span><span> Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = -12 2 -4,
</span><span> Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = 8 0 7,
</span><span> Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = -4 2 3,
</span><span> Вектор AД={xД-xA, yД-yA, zД-zA} = -3 4 -3,
</span><span> Вектор BД={xД-xB, yД-yB, zД-zB} = 9 2 1,
</span><span> Вектор CД={xД-xC, yД-yC, zД-zC} = 1 2 -6.
Угол между рёбрами определяем по формуле:
</span></span>
<span><span> cos радиан градусов
</span><span> < ABC 0.910879 0.425388 24.37293693
</span><span> < BCA -0.19216 1.76415518 101.078646
</span><span> < CAB 0.580015 0.95204948 54.54841706
</span><span> < ДBА 0.909395 0.42896892 24.57810892
</span><span> < ДAB 0.74994 0.72282463 41.41480038
</span><span> < AДB -0.40685 1.9897991 114.0070907
</span><span> < BДC 0.117885 1.45263702 83.22997044
</span><span> < ДCB 0.499514 1.04775851 60.03214053
</span><span> < CBД 0.80138 0.64119712 36.73788903
</span></span><span><span /><span><span> < AДC 0.616022 0.907113 51.97376
</span><span> < ДСA 0.522013 1.021587 58.5326
</span><span> < SAC 0.350311 1.212893 69.49364 </span></span></span>
<span>3) проекцию вектора на вектор
</span><span><span><span>Проекция b на a равна (</span><span>a · b)/</span></span><span>|b|.
</span></span>АВ =а, ВС = b.
= -68
<span><span>Проекция b на a = </span><span> -<span>68/√113</span> ≈ -6,3969019 (это ВС на АВ).
</span></span>
<span>4) уравнение прямой AB.
</span>.
<span>Получаем каноническое уравнение:
</span>
<span>x+6y-3z-24 = 0 это же уравнение в общем виде.
</span><span>5) уравнение плоскости ABC.
</span><span>Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .</span>
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1<span> + B · y</span>1<span> + C · z</span>1<span> + D = 0 ,</span>
A · x2<span> + B · y</span>2<span> + C · z</span>2<span> + D = 0 ,</span>
A · x3<span> + B · y</span>3<span> + C · z</span>3<span> + D = 0 .</span>
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (9) + B · (5) + C · (5) + D = 0 ,
A · (-3) + B · (7) + C · (1) + D = 0 ,
A · (5) + B · (7) + C · (8) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости:
- 7 · x - 26 · y + 8 · z + 153 = 0 .
Есть ещё один вариант получения уравнения плоскости по координатам точек:
<span><span /><span><span> Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
</span><span>Тогда уравнение определяется по такой формуле:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. </span></span></span>
1) </span><span><span /><span><span><span> Расчет длин сторон.</span>
</span><span> АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²+(Zв-Zа)²)= </span></span></span>√<span><span>164 = 12,8062,
</span><span>BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²+(Zс-Zв)²) = </span></span>√<span><span>113 = 10,6301,
</span><span> AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²+(Zс-Zа)²) = </span></span>√<span>29 = 5,38516,
</span><span><span /><span> АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²+(Zд-Zа)²)= </span></span>√<span><span>34 = 5,83095,
</span><span> BД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²+(Zд-Zв)²) = </span></span>√<span><span>86 = 9,27362,
</span><span> CД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²+(Zд-Zс)²) = </span></span>√<span>41 = 6,40312.
</span><span>2) угол между ребрами.
Определяем координаты векторов, которыми являются рёбра пирамиды.
</span><span><span> x y z
</span><span> Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = -12 2 -4,
</span><span> Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = 8 0 7,
</span><span> Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = -4 2 3,
</span><span> Вектор AД={xД-xA, yД-yA, zД-zA} = -3 4 -3,
</span><span> Вектор BД={xД-xB, yД-yB, zД-zB} = 9 2 1,
</span><span> Вектор CД={xД-xC, yД-yC, zД-zC} = 1 2 -6.
Угол между рёбрами определяем по формуле:
</span></span>
<span><span> cos радиан градусов
</span><span> < ABC 0.910879 0.425388 24.37293693
</span><span> < BCA -0.19216 1.76415518 101.078646
</span><span> < CAB 0.580015 0.95204948 54.54841706
</span><span> < ДBА 0.909395 0.42896892 24.57810892
</span><span> < ДAB 0.74994 0.72282463 41.41480038
</span><span> < AДB -0.40685 1.9897991 114.0070907
</span><span> < BДC 0.117885 1.45263702 83.22997044
</span><span> < ДCB 0.499514 1.04775851 60.03214053
</span><span> < CBД 0.80138 0.64119712 36.73788903
</span></span><span><span /><span><span> < AДC 0.616022 0.907113 51.97376
</span><span> < ДСA 0.522013 1.021587 58.5326
</span><span> < SAC 0.350311 1.212893 69.49364 </span></span></span>
<span>3) проекцию вектора на вектор
</span><span><span><span>Проекция b на a равна (</span><span>a · b)/</span></span><span>|b|.
</span></span>АВ =а, ВС = b.
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = <span>ax</span> · <span>bx</span> + <span>ay</span> · <span>by</span> + <span>az</span> · <span>bz</span> = (-12) · 8 + 2 · 0 + 4 · 7 = -96 + 0 + 28 == -68
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx²<span> + by</span>²<span> + bz</span>²) = √(8² + 0² + 7²) = √(64 + 0 + 49) = √113.<span><span>Проекция b на a = </span><span> -<span>68/√113</span> ≈ -6,3969019 (это ВС на АВ).
</span></span>
<span>4) уравнение прямой AB.
</span>.
<span>Получаем каноническое уравнение:
</span>
<span>x+6y-3z-24 = 0 это же уравнение в общем виде.
</span><span>5) уравнение плоскости ABC.
</span><span>Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .</span>
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1<span> + B · y</span>1<span> + C · z</span>1<span> + D = 0 ,</span>
A · x2<span> + B · y</span>2<span> + C · z</span>2<span> + D = 0 ,</span>
A · x3<span> + B · y</span>3<span> + C · z</span>3<span> + D = 0 .</span>
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (9) + B · (5) + C · (5) + D = 0 ,
A · (-3) + B · (7) + C · (1) + D = 0 ,
A · (5) + B · (7) + C · (8) + D = 0 .
Получим уравнение плоскости:
- 7 · x - 26 · y + 8 · z + 153 = 0 .
Есть ещё один вариант получения уравнения плоскости по координатам точек:
<span><span /><span><span> Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
</span><span>Тогда уравнение определяется по такой формуле:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0. </span></span></span>
0
0