Объяснение:
Функцию можно записать , обозначив переменную буквой t (ведь от обозначения переменной функция не изменяется), получим .
Это удобно сделать для того, чтобы потом вместо переменной t подставлять необходимое выражение t=(8-x).
1 взвешивание: в оду чашу весов кладем гирю и гвозди, в другую чашу кладем гвозди так, что бы 2 чаши были на одном уровне 3+27=30 (3+27)- это 1 чаша, а 30 - это вторая чаша.
2 взвешивание: делим 30 кг гвоздей на две чаши 15+15, к первой чаше ставим гирю, и убираем гвозди от туда до тех пор, пока чаши не уравновесятся. Тогда получится: 3+12=15. В первой чаше весов и лежит 12 кг гвоздей!
<span><span>1. </span>Достаточо часто при решении иррациональных неравенств после преобразований получаютлучают неравенство вида > В этом случае обе части неравенства положительны и их можно возводить в квадрат. Возведение обеих частей в квадрат в общем случае позволяет получить неравенство, которое является следствием данного. Чтобы отсеять посторонниие решения находят ОДЗ исходного (данного) неравенства и находят пересечение этих множеств.</span><span>Пример 1. Решить иррациональное неравенство.</span><span> > </span>Решение.1) Найдем ОДЗ.<span>x + 5 0 и 20 - x 0;</span><span>-5 x 20, следовательно, ОДЗ - [-5; 20] (1)</span>2) Возведем обе части неравенства в квадрат. x + 5 > 20 - x;<span>2x > 15; x > 7,5, следовательно решение этого неравенства - (7,5; +) (2).</span>3) Найдем пресечение множеств (1) и (2), это будет множество (7,5; 20].Ответ: (7,5; 20]<span>Можно поступить иначе, сразу заменить исходное неравенство системой неравенств и решать полученную систему неравенств.
Заметим, что f(x) > g(x) и g(x)0, значит в силу транзитивного сойства неравенств, всюду, где выполняются указанные неравенства, f(x)0 и поэтому систему можно заменить другой системой такая замен существенно упрощает решение иррационального уравнения.</span><span>Пример 2. Решить неравенство > </span>4 - x2<span> > x + 5;</span>
x + 50;
x2<span> + x + 1 < 0;</span>
x-5;<span>Квадратный трехчлен x2 + x + 1 имеет положительный старший коэффициент и отрицательный дискриминант, следовательно, он принимает только положительные значение, а это значит, что неравенство x2 + x + 1 < 0; решений не имеет. Решение системы есть пустое множество.</span><span>Ответ: x</span><span>Пример 3. Решить неравенство </span>Решение.Составим систему неравенств.x3<span> + x</span><span>2 </span><span>+ x + 2 </span>0,
x2<span> + x + 10</span>0,
x3<span> + x</span><span>2 </span>+ x + 2 > x<span>2 </span>+ x + 10;Так как первое неравенство является следстствие второго и третьего неравенств, его можно опустиь.x2<span> + x + 10</span>0,
x3<span> + x</span><span>2 </span>+ x + 2 > x<span>2 </span>+ x + 10;
x2<span> + x + 10</span>0,
x3 > 8;
У квадратного трехчлена a = 1 и D = -39, следовательно, он принимает положительные значени на всей области определения.(-; +),
(<span>2; </span><span>+</span>);
<span>Ответ: (2; +).</span><span><span>2. Теперь рассмотрим уравнения вида > g(x). </span>Поскольку левая часть неравенства может принимать как положительные так и отрицательные значения, то возводить без определенных условий обе части в квадрат нельзя. Мы должны рассмотреть два случая: g(x) < 0 и g(x) > 0, то есть неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.</span><span>Так как g(x) > 0, то (g(x))2 > 0 и, в силу транзитивного свойства неравенств, во второй системе первое неравенство можно опустить.</span><span>Пример 4. Решить неравенство > x + 1.</span>1. Решим первую систему.<span>x + 3 </span>0,
x + 1 < 0;
<span>x </span>-3,
x < -1;
<span>Решением этой системы является х[-3; -1).</span>l. Решим вторую систему.<span>x + 3 </span>0,
<span>x + 1 </span>0;
<span>x + 3 </span>><span> (x + 1)</span>2:
<span>x </span><span> -1;</span>
x + 3 > x2<span> + 2x +1;</span>
<span>x </span><span> -1;</span>
x2<span> + x - 2 </span><<span> 0;</span>
<span>У квадратного трехчлена x2 + x - 2 a = 1, D = 1 + 8 = 16 > 0, x1 = -2, x2 = 1.</span><span>x </span><span> -1;</span>
-2 < x < 1;
<span>Решение второй системы x[-1; 1). Объеденив два полученных множества, получим множество являющееся решением иррационального уравнения х [-3; 1).</span>Ответ: [-3; 1)..<span>3. Неравенства вида < g(x). Из определения квадратного корня следует, что 0, поэтому g(x) > 0. Тогда </span>Неравенство g(x) > 0 в этой системе опустить в общем случае нельзя.
<span>Пример 5. Решить неравенство 2x - 2.</span>x2<span> - 5x + 4 </span>0,
2x - 20;
x2<span> - 5x + 4 </span><span> (3x - 3)</span>2;
<span>x </span><span>1 x </span>4,
<span>x </span>1;
(x - 1)(x - 4) 4<span>(x - 1) </span>2;
<span>x </span><span>1 или x </span>3,
<span>x </span>1;
<span>(x - 1)((x - 3) - </span>4(x - 1))0;
<span>x </span><span>1 или x </span>3,
<span>x </span>1;
(x - 1)(- 3x + 1)0;
<span>x </span><span>1 или x </span>3, (1)
<span>x </span><span>1, </span><span> </span>(2)
<span>x </span>1 или x. (3)
<span>Ответ: {1}[4; +)</span><span>4. Неравенство вида + > m(x).<span> Чтобы избавиться от иррациональности в таких неравенствах приходится несколько раз возводить в квадрат обе части неравенства, при этом мы должны учитывать, что возводить в квадрат обе части неравенства можно в тех случаях, когда обе части либо положительны либо отрицательны (в последнем случае необходимо менять знак неравенства). Нужно также учитывать, что при возведении в квадрат может произойти расширение ОДЗ, что приведет к появлению посторонних решений, их нужно отсеять.</span></span> <span>Пример 6. Решить неравенство - </span>Решение.Найдем ОДЗ. Для этого нам необходимо решить систему неравенств.x0,
10 - x0;
x - 50;
x0,
x<span>10; </span><span> 5 </span><span> x</span>10.
<span>x </span>5;
Таким образом ОДЗ данного неравенства есть множество чисел принадлежащих промежутку [5; 10]<span>Перенесем второе слагаемое в левую часть неравенства + , тогда при любом значении переменной из ОДЗ обе части положительны. Возведем их в квадрат.</span><span>x + x - 5 + 2 10 - x;</span><span>2 15 - 3x;</span><span>В данном конкретном случае можно, по моему мнению, отклонится от стандартной схемы и вот почему. В правой части неравенства задана линейная функция t(x) = 15 - 3x, заданная на промежутке [5; 10]. Её угловой коэффициент k = -3, следовательно, она убывает и так как на концах промежутка она принимает соответственно значения t(5) = 0, t(10) = -15, то на указанном промежутке t(x)0. На этом же промежутке 0 и 0 (из определения квадратного корня), следовательно, на указанном промежутке неравенство 2 15 - 3x верно при любом значении переменной из ОДЗ.</span>