Даны координаты пирамиды: A1(2,-2,1), A2(10,2,2), A3(6,1,2), A4(8,4,4) 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj<span> - x</span>i; Y = yj<span> - y</span>i; Z = zj<span> - z</span>i здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi<span> - координаты точки А</span>i; xj, yj, zj<span> - координаты точки А</span>j; Например, для вектора A1A2 X = x2<span> - x</span>1; Y = y2<span> - y</span>1; Z = z2<span> - z</span>1 X = 10-2; Y = 2-(-2); Z = 2-1 A1A2(8;4;1) A1A3(4;3;1) A1A4(6;6;3) A2A3(-4;-1;0) A2A4(-2;2;2) A3A4(2;3;2) Модули векторов<span> (длина ребер пирамиды)</span> Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: |a| = √(X²+Y²+Z²). Длина ребра А1А2 равна: А1А2 = √((8² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9.
2) Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A4(6;6;3): cos α = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 = <span><span>
0,925926. </span></span> α = arccos(0.925926) = <span><span>0,387317 радиан = </span>22,19161</span>°.<span> </span>3) Площадь грани А1А2А3. Площадь грани можно найти по формуле: S = (1/2)*|a|*|b|*sin α, где sin α = √(1 - cos²α).
Найдем площадь грани A1A2A3 Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A3(4;3;1): cos α = (8*4+4*3+1*1)/(9*√26) = <span><span><span>
45/</span><span>45,89118 = 0,980581. sin </span></span></span>α = √(1 - 0,980581²) = <span><span>0,196116. </span></span>Площадь грани A1A2A3 равна: S = (1/2)*9*√26*<span><span>0,196116 = 4,5 кв.ед.</span></span> Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: Векторное произведение: <span><span><span> i j k </span><span>8 4 1 </span><span>4 3 1 </span></span>=</span> = i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k. S = (1/2)*√(1²+4²+8²) = (1/2)*√81 = 4,5 кв.ед.
Иначе говоря, плоскость проходит через три точки (6,-10,1), (-3,0,0) и (0,0,2). Тогда уравнение плоскости |x-6 y+10 z-1| |-3-6 0+10 0-1| |0-6 0+10 2-1| 20(x-6)+15(y+10)-30(z-1)=0 20x+15y-30z+60=0 => 4x+3y-6z+12=0 => -4x-3y+6z=12 Теперь дели всё на 12 <span>x/(-3)+y/(-4)+z/2=1.</span>