Все стороны правильного (равностороннего) треугольника АВС = а .
Его высота ВН есть медиана, её можно найти из прямоугольного треугольника АВН :
h=√(a²-a²/4)=√(3a²/4)=(a√3)/2
Центры вписанной и описанной окружностей у правильного Δ совпадают
и лежат на пересечении серединных перпендикуляров (они же высоты, биссектрисы и медианы). Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины. И 2 части приходится на радиус описанной окружности, а 1 часть приходится на радиус вписанной окружности. Нас интересует R=2/3·h=2/3·(a√3)/2=a√3/3 .
Формула площади правильного треугольника:
S=1/2·a·a·sin60°=a²/2·√3/2=a²√3/4 .
По условию S=75√3 ⇒ a²√3/4=75√3 ⇒ a²=75·4=300 ⇒ a=10√3 .
R=a√3/3=10√3·√3/3=10 .
Из ΔABC:
CB =AB/2 =11 (как катет против угла ∠A =30°)
Из ΔСHB :
BH =CB/2 (cyкак катет против угла ∠HCB =∠A =30°)
BH =11/2 =5,5.
AH =AB - BH =22-5,5 =16,5.
***********или ******
CB² =AB*BH⇒BH =CB²/AB =11²/22 =11/2 =5,5.
AH =AB - BH =22-5,5 =16,5.
***********или ******
AC² =AB*AH ⇒AH =AC²/AB =(AB² -BC²) / AB =(22² -11²)/22 =
((11*2)² -11) */(11*2) =(11² )*3/(11*2) =11*3/2 =33/2 =16,5.
*** или ....
Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатрисса)- прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части.
Допустим, что ВС=12 см, тогда по условию sin A=0,8.
sin A=BC/AB,
АВ=12/0,8=15 см.
АС²=АВ²+ВС²=225-144=81,
АС=√81=9 см.
Р(АВС)=9+12+15=36 см.